Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos

RESUMEN. Estudiamos algunas funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos.

Enunciado
Sea $P$ un espacio prehilbertiano. Demostrar que para todo $y\in P$ las aplicaciones de $P$ en $\mathbb{K}:$
$$(a)\;F_y(x)=\langle x,y\rangle.\quad (b)\;G_y(x)=\langle y,x\rangle.\quad (c)\; N(x)=\|x\|.$$
son uniformemente continuas.

Solución
$(a)$ Si $y=0,$ $F_y$ es la función nula que claramente es uniformmente continua. Sea $y\ne 0$ y sea $\epsilon > 0.$ Elijamos $\delta=\epsilon/\|y\|$. Para todo $x_1,x_2\in P$ tenemos $$|F_y(x_1)-F_y(x_2)|=|\langle x_1,y\rangle-\langle x_2,y\rangle|=|\langle x_1-x_2,y\rangle|$$ $$\underbrace{\le}_{\text{Desig. Schwartz}}\|x_1-x_2\|\|y\|.$$ Entonces, $\|x_1-x_2\| < \delta $ implica $|F_y(x_1)-F_y(x_2)| < \epsilon$ por tanto, $F_y$ es uniformemente continua.
$(b)$ Análogo razonamiento.
$(c)$ Para todo $x_1,x_2$ y usando la desigualdad triangular, $$\|x_1\|=\|x_1-x_2+x_2\|\le \|x_1-x_2\|+\|x_2\|\Rightarrow \|x_1\|-\|x_2\|\le \|x_1-x_2\|.$$ Intercambiando los papeles de $x_1$ y $x_2$, $$\|x_2\|-\|x_1\|\le \|x_1-x_2\|,$$ lo cual implica $\left|\;\|x_1\|-\|x_2\|\;\right|\le \|x_1-x_2\|.$ Sea $\epsilon > 0$, eligiendo $\delta=\epsilon,$ $$\|x_1-x_2\| < \delta \Rightarrow \left|N(x_1)-N(x_2)\right|=\left|\;\|x_1\|-\|x_2\|\;\right|\le \|x_1-x_2\| < \delta=\epsilon,$$ por tanto $N$ es uniformemente continua.

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