RESUMEN. Demostramos que en todo subconjunto no vacío convexo y cerrado de un espacio de Hilbert existe un vector de norma mínima.
Enunciado
Sea $A$ un subconjunto no vacío convexo y cerrado de un espacio de Hilbert $H$. Demostrar que $A$ contiene un único vector de norma mínima.
Solución
Denotemos $m=\inf\{\| x\|:x\in A\}$, ínfimo que existe pues $\{\| x\|:x\in A\}$ está acotado inferiormente por $0.$ En la igualdad del paralelogramo $$\| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2\quad \forall x,y\in H$$
y sustituyendo $x$ por $\frac{1}{2}x$ e $y$ por $\frac{1}{2}y,$ obtenemos $$\frac{1}{4}\| x-y\|^2=\frac{1}{2}\| x\|^2+\frac{1}{2}\| y\|^2-\left \| \frac{x+y}{2}\right\|^2.$$ Como $A$ es convexo, $(x+y)/2\in A.$ Por tanto $$\| x-y\|^2\le 2\| x\|^2+2\|y\|^2-4m^2\quad (x,y\in A).\qquad (1)$$ Si $\| x\|=\| y\|=m$ la igualdad $(1)$ implica $\| x-y\|^2=0$ y por tanto $x=y$ lo cual prueba la unicidad. La definición de $m$ implica que existe una sucesión $(y_n)$ en $A$ tal que $\|y_n\|\to m$ cuando $n\to +\infty.$ Reemplazando $x$ e $y$ por $y_n$ e $y_m$ en $(1):$ $$\| y_n-y_m\|^2\le 2\| y_n\|^2+2\|y_m\|^2-4m^2.$$ Si $n.m\to +\infty$ la igualdad anterior implica $\| y_n-y_m\|\to 0,$ es decir $(y_n)$ es sucesión de Cauchy. Como $H$ es completo por ser espacio de Hilbert, existe $x_0\in H$ tal que $y_n\to x_0$ cuando $n\to +\infty.$ Como $y_n\in A$ y $A$ es cerrado, $x_0\in A$ y al ser la norma una aplicación continua, $\|x_0\|=\lim_{n\to +\infty}\|y_n\|=m.$ El vector $x_0$ es por tanto el vector único de norma mínima buscado.