Todo subespacio de dimensión finita es cerrado

RESUMEN. Demostramos que todo subespacio de un espacio normado de dimensión finita es cerrado

Enunciado
Sea $E$ un espacio normado y $F$ un subespacio de $E$ de dimensión finita. Demostrar que $F$ es cerrado.

Solución
Sea $x\in\overline{F}$ y sea $(x_n)$ una sucesión en $F$ tal que $(x_n)\to x.$ Al ser $(x_n)$ convergente, es de Cauchy. Como todo espacio normado de dimensión finita es de Banach, $F$ es completo por tanto $x\in F.$ Es decir, $\overline{F}\subset F$ con lo cual $F$ es cerrado.

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