RESUMEN. Demostramos que todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado
Enunciado
Sea $E$ un espacio normado y $F$ un subespacio de $E$ de dimensión finita. Demostrar que $F$ es cerrado.
Solución
Sea $x\in\overline{F}$ y sea $(x_n)$ una sucesión en $F$ tal que $(x_n)\to x.$ Al ser $(x_n)$ convergente, es de Cauchy. Como todo espacio normado de dimensión finita es de Banach, $F$ es completo por tanto $x\in F.$ Es decir, $\overline{F}\subset F$ con lo cual $F$ es cerrado.