Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach

RESUMEN. Proporcionamos un ejemplo de un subespacio no cerrado de un espacio de Banach.

Enunciado
Consideremos el espacio de Banach $(l_{\infty},\|\;\|)$ $$l_{\infty}:=\left\{x=(x_k)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}:\sup \{|x_k|:k\in\mathbb{N}\} < +\infty\right\}$$ con la norma $\left\|x\right\|=\sup \{|x_k|:k\in\mathbb{N}\}.$ Demostrar que el subespacio $F$ se las sucesiones finitamente no nulas no es cerrado.

Solución
Consideremos la sucesión de elementos de $F:$ $$X_n=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},0,0,0,\ldots\right).$$ Sea $X$ el elemento de $l_\infty:$ $$X=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+2},\ldots\right).$$ Tenemos $$\|X_n-X\|=\sup \left\{0,0,0,\ldots,0,\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+2},\ldots\right\}=\frac{1}{n+1}\to 0$$ si $n\to +\infty.$ Entonces, $X\in \overline{F}$ pero $X\notin F$ con lo cual $F$ no es cerrado.

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