Ortogonalidad en espacios prehilbertianos

RESUMEN. Estudiamos la ortogonalidad en espacios prehilbertianos.

Enunciado
Sea $E$ un espacio prehilbertiano y sean $x,y\in E.$ Se dice que $x$ es ortogonal a $y$ y se escribe $x\perp y$ si $\langle x,y\rangle=0.$
(1) Demostrar que la relación es simétrica i.e. $x\perp y\Rightarrow y\perp x.$
(2) Se define $$x^\perp=\{y\in E:\langle x,y\rangle=0\}.$$ Demostrar que $x^\perp$ es subespacio vectorial de $E.$
(3) Demostrar que $x^\perp$ es cerrado.
(4) Si $F$ es subespacio de $F$ se define $F^\perp$ como el conjunto de los vectores de $E$ que son ortogonales a todos los de $F.$ Demostrar que $F^\perp$ es subespacio cerrado de $E.$

Solución
(1) Tenemos $x\perp y\Rightarrow \langle x,y\rangle=0\Rightarrow \overline{\langle x,y\rangle}=\overline{0}\Rightarrow \langle y,x\rangle=0\Rightarrow y\perp x.$
(2) Dado que $\langle 0,y\rangle=0$ para todo $y\in E$ se verifica $0\in x^\perp.$ Si $y_1,y_2\in x^\perp$ entonces $y_1$ e $y_2$ son ortogonales a $x$ por tanto $$\langle x,y_1+y_2\rangle=\langle x,y_1\rangle+\langle x,y_2\rangle=0+0=0,$$ es decir $(y_1+y_2)\in x^\perp.$ Si $\alpha\in \mathbb{K}$ e $y\in x^\perp$ entonces $x$ es ortogonal a $y$ por tanto $$\langle x,\alpha y\rangle=\overline{\alpha} \langle x, y\rangle=\overline{\alpha}0=0,$$ es decir $(\alpha y)\in x^\perp.$
(3) Sabemos que la aplicación $F_x:E\to \mathbb{K}$ dada por $F_x(y)=\langle x,y \rangle$ es continua (ver Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos). Entonces, $$F_x^{-1}(\{0\})=\{y\in E:F_x(y)=0\}=\{y\in E:\langle x,y \rangle=0\}=x^\perp.$$ Al ser $\{0\}$ cerrado y $F_x$ continua es cerrado $x^\perp=F_x^{-1}(\{0\}).$\\
(4) Es claro que $F^\perp=\bigcap_{x\in M}x^\perp.$ La intersección cualesquiera de subespacios es subespacio y la intersección cualesquiera de conjuntos cerrados es cerrado.

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