Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos

RESUMEN. Demostramos el teorema de Pitágoras y su generalización en espacios prehilbertianos.

Teorema (de Pitágoras en espacios prehilbertianos)
Sea $E$ un espacio prehilbertiano. Entonces,
(1) Si $x,y\in E$ son vectores ortogonales se verifica
$$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2.$$ (2) Más general, si $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\subset E$ es un sistema ortogonal de vectores de $E$ se verifica $\left\|\sum_{k=1}^nx_k\right\|^2=\sum_{k=1}^n\|x_k\|^2$.

Demostración
(1) Como $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle=0,$ tenemos $$\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle y,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2.$$
(2) Supongamos que $\left\|\sum_{k=1}^{n-1}x_k\right\|^2=\sum_{k=1}^{n-1}\|x_k\|^2.$ Haciendo $x=\sum_{k=1}^{n-1}x_k$ e $y=x_n$ tenemos $x\perp y$ con lo cual, $\left\|\sum_{k=1}^nx_k\right\|^2=\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2=\left\|\sum_{k=1}^{n-1}x_k\right\|^2+\|x_n\|^2=\sum_{k=1}^n\|x_k\|^2.$

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