RESUMEN. Demostramos la desigualdad de Bessel en espacios prehilbertianos.
Teorema (Desigualdad de Bessel)
Sea $E$ un espacio prehilbertiano y $\{x_1,x_2,x_3,\ldots \}\subset E$ un sistema ortonormal. Entonces, para todo $x\in E$ se verifica
$$\sum_{k=1}^{+\infty}|\langle x,x_k\rangle|^2\le \|x\|^2.$$ Demostración
Sea $n > 0 $ natural y llamemos $y_n=x-\sum_{k=1}^n\langle x,x_k\rangle x_k.$ Entonces, para $m=1,2\,\ldots, n$ $$\langle y_n,x_m\rangle=\langle x,x_m\rangle-\sum_{k=1}^n\langle x,x_k\rangle\langle x_k,x_m\rangle=\langle x,x_m\rangle-\sum_{k=1}^n\langle x,x_k\rangle\delta_{km}=0.$$ Es decir, $\{y_n , \langle x,x_1\rangle x_1,\ldots,\langle x,x_n\rangle x_n\}$ es un sistema ortogonal. Usando el teorema de Pitágoras y que $\|x_k\|^2=1,$ $$\|x\|^2=\|y_n+\sum_{k=1}^n\langle x,x_k\rangle x_k\|^2=\|y_n\|^2+\sum_{k=1}^n|\langle x,x_k\rangle|^2\|x_k\|^2 \ge \sum_{k=1}^n|\langle x,x_k\rangle|^2.$$ Tenemos por tanto $\sum_{k=1}^n|\langle x,x_k\rangle|^2\le \|x\|^2$ y tomando supremos sobre $n$ obtenemos la desigualdad de Bessel.