Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal

RESUMEN. Definimos la serie de Fourier asociada a un vector de un espacio de Hilbert con respecto de un sistema ortonormal, y demostramos que siempre converge.

1. Lema. Sea $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ un sistema ortogonal en un espacio de Hilbert $H.$ Entonces, $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\text{ converge}\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{+\infty}\|x_k\|^2\text{ converge.}$

Demostración. Como $H$ es completo, por el criterio de Cauchy, la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ converge si y sólo si para cada $\epsilon > 0 $ existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $n\ge m\ge n_0$ implica $\|\sum_{k=m}^nx_k\| < \epsilon $. Esto equivale a decir que $\|\sum_{k=m}^nx_k\|^2$ se hace suficientemente pequeño para $n,m$ suficientemente grandes. Pero por el teorema de Pitágoras, $\|\sum_{k=m}^nx_k\|^2=\sum_{k=m}^n\|x_k\|^2$ de lo que se deduce que $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k$ converge si y sólo si $\sum_{k=1}^{+\infty}\|x_k\|^2$ converge. $\qquad \square$

2. Definición. Sea $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert $H$ y $x\in H.$ A los números $\langle x,x_k\rangle$ $(k=1,2,\ldots)$ los llamamos coeficientes de Fourier de $x$ con respecto al sistema ortonormal $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$.

3. Teorema. Sea $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert $H$ y $x\in H.$ Entonces, la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}\langle x,x_k\rangle x_k$ converge en $H.$

Demostración. Como $\{\langle x,x_k\rangle x_k\}$ es un sistema ortogonal, por el lema anterior la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}\langle x,x_k\rangle x_k$ converge si y sólo si converge la serie $$\sum_{k=1}^{+\infty}\|\langle x,x_k\rangle x_k\|^2=\sum_{k=1}^{+\infty}|\langle x,x_k\rangle|^2.$$ Pero esta serie converge por la desigualdad de Bessel. $\qquad \square$

4. Definición. A la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}\langle x,x_k\rangle x_k$ se la llama serie de Fourier asociada a $x$ respecto del sistema ortonormal $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$.

Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , . Guarda el enlace permanente.