Elipse como lugar geométrico

RESUMEN. Determinamos la ecuación de una elipse aplicando su definición como lugar geométrico.

Enunciado
Determinar la ecuación de la elipse con focos en $F_1(0,-4)$, $F_2(2,0)$ y un vértice $A(3,-3).$

Solución
El punto $P(x,y)$ pertenece a la elipse pedida si y sólo si $$d(P,F_1)+d(P,F_2)=k\qquad (*)$$ con $k$ constante. El punto $A$ perteneca a la elipse (nótese que el hecho de ser vértice es irrelevante) por tanto $$k=d(A,F_1)+d(A,F_2)=\sqrt{3^2+1^2}+\sqrt{1^2+(-3)^2}=2\sqrt{10}.$$ Aplicando $(*),$ $$\sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}=2\sqrt{10}, \text{ o bien,}$$ $$\sqrt{x^2+(y+4)^2}=2\sqrt{10}-\sqrt{(x-2)^2+y^2}.$$ Elevando al cuadrado ambos miembros, $$x^2+y^2+8y+16=40+x^2-4x+4+y^2-4\sqrt{10}\sqrt{(x-2)^2+y^2}$$ Simplificando, $$4x+8y-28=4\sqrt{10}\sqrt{(x-2)^2+y^2}.$$ Elevando de nuevo al cuadrado ambos miembros, $$16x^2+64y^2+784+64xy-224x-448y=160\left(x^2-4x+4+y^2\right).$$ Dividiendo todos los términos entre $16,$ $$x^2+4y^2+49+4xy-14x-28y=10\left(x^2-4x+4+y^2\right).$$ Simplificando obtenemos la ecuación pedida: $$9x^2-4xy+6y^2-26x+28y-9=0.$$