Conjuntos acotados en espacios métricos

RESUMEN. Definimos el concepto de conjunto acotado en espacios métricos y damos dos ejemplos de aplicación.

Enunciado
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X$ no vacío. Se dice que $A$ está acotado si existe una bola $B(p,r)$ en $X$ tal que $A\subset B(p,r).$
(a) Demostrar que $A$ está acotado si y sólo si su diámetro $D(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}$ es menor que $+\infty.$
(b) Se considera $(X,d)$ con la métrica discreta
$$d(x,y)=\left \{ \begin{matrix} 1 & \text{si $x \ne y$}\\0 & \text{si $x=y$}.\end{matrix}\right.$$ Demostrar que todo $A\subset X$ está acotado.
(c) En $\mathbb{R}^3$ con la distancia euclída $d,$ demostrar que $$A=\{(x,y,z):x\ge 0,y\ge 0, z\ge0\}$$ no está acotado.

Solución
(a) Supongamos que $A$ está acotado y que $A\subset B(a,r).$ Sean $x,y\in A$, Entonces $$d(x,y)\le d(x,a)+d(a,y) < r +r=2r$$ y por tanto, $D(A) < +\infty.$ Reciprocamente, supongamos que $D(A) < +\infty.$ Como $A\ne\emptyset$, existe $a\in A\subset X.$ Sea $r=D(A)+1.$ Entonces, $$y\in A\Rightarrow d(y,a) < D(A) < D(A)+1=r$$ y por tanto, $A\subset B(a,r).$
Nota. Por convenio, $D(\emptyset)=-\infty$, luego el resultado es válido para $A=\emptyset.$
(b) Por definición de la distancia discreta, $d(x,y)\le 1$ para todo $x,y\in A$ por tanto $D(A) < +\infty$, es decir $A$ está acotado.
(c) Para cada $r > 0$ los puntos $(0,0,0)$ y $(r,r,r)$ pertenecen a $A$ y además $$d \left((0,0,0),(r,r,r)\right)=\sqrt{3r^2}=\sqrt{3}r > r$$ en consecuencia $D(A)=+\infty$ y por tanto $A$ no está acotado.

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