Conjuntos totalmente acotados

RESUMEN. Definimos el concepto de conjunto totalmente acotado en espacios métricos y lo relacionamos con el concepto de conjunto acotado.

Enunciado
Sea $(X,d)$ es un espacio métrico y $A\subset X.$
Se dice que $A$ está acotado si existe una bola $B(x,r)$ en $X$ que contiene a $A$ o de forma equivalente, si su diámetro $D(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}$ es menor que $+\infty.$
Se dice que $A$ está totalmente acotado si para todo $\epsilon > 0$ existe un número finito de bolas, todas con radio $\epsilon$ que recubre a $A$, o de forma equivalente si para todo $\epsilon > 0$ el conjunto $A$ está contenido en una unión finita de conjuntos cada uno de ellos con diámetro menor que $\epsilon.$
(a) Demostrar que todo conjunto totalmente acotado está acotado.
(b) Demostrar que el recíproco no es cierto. Para ello considérese como contraejemplo el subconjunto $A$ del espacio $l_2$ formado por los elementos
$$\begin{aligned}
&e_1=(1,0,0,\ldots)\\
& e_2=(0,1,0,\ldots)\\
& e_3=(0,0,1,\ldots)\\
&\ldots
\end{aligned}$$ Solución
(a) En efecto, si $A$ está totalmente acotado, eligiendo $\epsilon=1$, existen $x_1,\ldots,x_n$ elementos de $X$ tales que $$A\subset B(x_1,1)\cup \ldots\cup B(x_n,1).$$ Llamemos $R=1+\max\{d(x_i,x_1):1\le i\le n\}$. Para todo $i=1,\ldots,n$: $$y\in B(x_i,1)\Rightarrow d(y,x_i) < 1\Rightarrow d(y,x_1) \le d(y,x_i)+ d(x_i,x_1)$$ $$ < 1+\max\{d(x_i,x_1):1\le i\le n\}=R.$$ Es decir, $B(x_i,1)\subset B(x_1,R)$ para todo $i=1,\ldots,n$ con lo cual, $$A\subset B(x_1,1)\cup \ldots\cup B(x_n,1)\subset B(x_1,R)$$ y por tanto, $A$ está acotado.
(b) Recordemos que $l_2$ es el espacio $l_2=\{x=(x_k)\in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}:\sum_{k=1}^{+\infty}|x_k|^2 < +\infty\}$ con el producto escalar $\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\overline{y_k}.$ Entonces, si $i\ne j,$ $$d(e_i,e_j)=\|e_i-e_j\|=\sqrt{\langle e_i-e_j,e_i-e_j\rangle}=\sqrt{2}$$ con lo cual $D(A) < +\infty$ y por tanto $A$ está acotado. Sin embargo no está totalmente acotado. En efecto, elijamos $\epsilon=1$ y supongamos que $A\subset A_1\cup\ldots\cup A_m$ con los $A_k$ de diámetro menor que $1.$ Al ser $1 < \sqrt{2}$ cada $A_k$ no puede contener más de un elemento de $A.$ Esto es absurdo pues $A$ es infinito.