Caracterización de espacios topológicos normales

RESUMEN. Proporcionamos una caracterización de los espacios topológicos normales

Teorema
Sea $X$ un espacio toplógico. Las siguienres afirmaciones son equivalentes:
(i) $X$ es normal.
(ii) Si $H$ es un conjunto abierto que contiene al conjunto cerrado $F$, entonces existe un conjunto abierto $G$ tal que $F\subset G\subset \overline{G}\subset H.$

Demostración
(i) $\Rightarrow$ (ii). Sea $F\subset H$ con $F$ cerrado y $H$ abierto. Entonces, $H^c$ es cerrado y $F\cap H^c=\emptyset.$ Como $X$ es normal, existen abiertos $G$ y $G_1$ tales que $F\subset G,$ $H^c\subset G_1$ y $G\cap G_1=\emptyset.$ Pero $$G\cap G_1=\emptyset\Rightarrow G\subset G_1^c\text{ y }H^c\subset G_1 \Rightarrow G_1^c\subset H.$$ Al ser $G_1^c$ cerrado y contener a $G$ se verifica $\overline{G}\subset G_1^c$ por tanto $$F\subset G\subset \overline{G}\subset G_1^c\subset H.$$ (ii) $\Rightarrow$ (i). Sean $F_1$ y $F_2$ dos conjuntos cerrados y disjuntos. Entonces, $F_1\subset F_2^c$ y $F_2^c$ es abierto. Por la hipótesis (ii), existe un aconjunto abierto $G$ tal que $F_1\subset G\subset \overline{G}\subset F_2^c.$ Ahora bien, $$\overline{G}\subset F_2^c\Rightarrow F_2\subset \overline{G}^{\;c} \text{ y }\;G\subset \overline{G}\Rightarrow G\cap \overline{G}^{\;c}=\emptyset.$$ Como $\overline{G}$ es cerrado, $\overline{G}^{\;c}$ es abierto. Es decir, $F_1\subset G$ y $F_2\subset \overline{G}^{\;c}$ con $G$ y $\overline{G}^{\;c}$ conjuntos abiertos dijuntos, por tanto $X$ es normal.