Ecuación homogénea en función de cuadraturas

RESUMEN. Resolvemos una ecuación homogénea dejando la solución en términos de cuadraturas.

Enunciado
Resolver la ecuación diferencial
$$x dy+\left[x \sec \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y\right]dx =0.$$

Solución
Llamando $Q(x,y)=x$, $P(x,y)=x \sec \left(y/x\right)+y,$ $$\begin{aligned}& Q(tx,ty)=tx=tQ(x,y),\\
&P(tx,ty)=(tx) \sec \left(\displaystyle\frac{ty}{tx}\right)+ty=t\left[x \sec \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y\right]=tP(x,y).
\end{aligned}$$ Es decir, las funciones $P$ y $Q$ son homogéneas del mismo grado. Según sabemos el cambio $y=vx$, transforma la ecuación en una de variables separadas: $$x(vdx+xdv)+(vx+x\sec v )dx=0,$$ $$vdx+xdv+(v+\sec v)dx=0,$$ $$(2v+\sec v)dx+xdv=0,$$ $$\frac{dx}{x}+\frac{dv}{2v+\sec v}=0,$$ $$\int \frac{dx}{x}+\int \frac{dv}{2v+\sec v}=C,$$ $$\log |x|+\int \frac{dv}{2v+\sec v}=C.$$ Se puede demostrar que la integral anterior no es integrable elementalmente, con lo cual la solución general de la ecuación diferencial queda expresada en términos de cuadraturas.