Clausura de un conjunto conexo

RESUMEN. Relacionamos los conjuntos conexos con su clausura.

Enunciado
Sea $(X,T)$ un espacio topológico y $A\subset X.$ Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
(1) Si $A$ es conexo entonces su clausura $\bar A$ también es conexo.
(2) Si $\bar A$ es conexo entonces $A$ también es conexo.

Solución
(1) Recordemos que el que un subconjunto $A$ de un espacio topológico sea conexo queda caracterizado por el hecho de que las únicas funciones continuas de $A$ en el espacio topológico discreto $\{0,1\}$ son las funciones constantes $f(x)=0$ o $f(x)=1.$
Sea $f:\bar A\rightarrow \{0,1\}$ continua. Como $A$ es conexo entonces $f(A)=\{0\}$ o $f(A)=\{1\}$. Supongamos que $f(A)=\{0\}$. Entonces, $f^{-1}(\{0\})$ es un cerrado que contiene a $A$ por tanto $\bar A\subset f^{-1}(\{0\})$ i.e. $f(\bar A)=\{0\}$. Análogo razonamiento si $f(A)=\{1\}$. Concluimos pues que la clausura $\bar A$ es un conjunto conexo.
Observación. Como caso particular, $\emptyset$ es conexo y $\overline \emptyset=\emptyset$ (menor cerrado que contiene a $\emptyset$).

(2) El enunciado es falso. Elijamos $\mathbb{R}$ con la topología usual y el subconjunto $A=(0,1)\cup (1,2).$ Obviamente $\bar A=[0,2]$ que es conexo y sin embargo, $A$ no es conexo.

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