Diámetro de la clausura de un conjunto

RESUMEN. Demostramos que todo subconjunto de un espacio métrico y su clausura tiene el mismo diámetro.

Enunciado
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X.$ Denotemos por $\delta (A) = \sup \{d(x,y) : x,y \in A\}$ al diametro de $A.$ Demostrar que $\delta(\overline A) = \delta( A)$ (en donde $\overline A$ representa la clausura de $A$).

Solución
Supongamos primeramente que $A\ne \emptyset$ y $\delta (A)$ finito. Como $A\subset \overline A$ se deduce que $\delta (A) \le \delta (\overline A).$ Ahora, si $\epsilon > 0$ y $a,b \in \overline {A}$, existen puntos $a^\prime, b^\prime$ en $A$ tales que $d(a,a^\prime) < \epsilon$ y $d(b,b^\prime) < \epsilon.$ Entonces, por la desigualdad triangular, $$d(a,b) \leq d(a,a’) + d(a’,b’) + d(b’,b) < 2 \epsilon + d(a’,b’)\leq 2 \epsilon + \delta (A).$$ Como la desigualdad se verifica para todo $\epsilon > 0$, se deduce que $\delta(\overline{A}) \le \delta( A).$ Es decir, $\delta(\overline{A}) = \delta( A).$ Veamos ahora los restantes casos.
Si $A=\emptyset$, sabemos que por convenio $\delta (\emptyset)=-\infty$ y al ser $\overline\emptyset=\emptyset$ tenemos $\delta(\overline\emptyset)=\delta (\emptyset)=-\infty.$ Si $\delta(A)=+\infty$, al ser $A\subset \overline A$, necesariamente $\delta (\overline A)=+\infty.$ Concluimos pues que el diámetro de un conjunto es igual al de su clausura.