Máximo de una función con números combinatorios

RESUMEN. Determinamos el máximo de una función con números combinatorios.

Enunciado
Se considera la aplicación $$f:\{0,1,2,\ldots,n\}\to \mathbb{N},\quad f(k)={n \choose k}.$$ (a) Demostrar que si $n$ es par, $f$ tiene máximo absoluto en $k=n/2$ y que si $n$ es impar, $f$ tiene máximo absoluto en $k=(n-1)/2$ y $k=(n+1)/2.$
(b) Efectuar la comprobación en los casos $n=5$ y $n=6.$

Solución
(a) Para $k=0,1,2,\ldots, n-1$ tenemos $$\dfrac{\displaystyle {n \choose k+1}}{\displaystyle {n \choose k}} =\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\cdot \frac{k!(n-k)!}{n!}$$ $$=\frac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n-k}{k+1}.$$ Entonces, $${n \choose k} < \displaystyle {n \choose k+1}\Leftrightarrow \dfrac{\displaystyle {n \choose k+1}}{\displaystyle {n \choose k}} > 1$$ $$\Leftrightarrow \frac{n-k}{k+1} > 1 \Leftrightarrow n-k > k+1 \Leftrightarrow n > 2k+1.$$ Es decir, $${n \choose k} < \displaystyle {n \choose k+1}\; \forall k=0,1,\ldots, \frac{n}{2}-1 \text{ si }n \text{ par},$$ $${n \choose k} < \displaystyle {n \choose k+1}\; \forall k=0,1,\ldots, \frac{n-1}{2}-1 \text{ si }n \text{ par}.$$ Como números combinatorios complementarios son iguales, $f$ tiene máximo absoluto en $k=n/2$ si $n$ par y en $k=(n-1)/2$ y $k=(n+1)/2$ si $n$ impar.
(b) Usando el triángulo de Tartaglia, $$\begin{array}{r|*{6}{r}}{k}&0&1&2&3&4&5\\\hline
{}5\choose k&1&5&10&10&5&1\\
\end{array}$$ y el máximo absoluto se obtiene en $k=(n-1)/2=2$ y $(n+1)/2=3$ con $f(2)=f(3)=10.$ $$\begin{array}{r|*{7}{r}}{k}&0&1&2&3&4&5&6\\\hline
{}6\choose k&1&6&15&20&15&6&1\\
\end{array}$$ y el máximo absoluto se obtiene en $k=n/2=3$ con $f(3)=20.$

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