Distancia acotada usual

RESUMEN. Demostramos que la distancia acotada usual es efectivamente una distancia.

Enunciado
Sea $d$ una distancia en un conjunto no vacío $X.$ Demostrar que la función $D$ definida por $$D:X\times X\to [0,+\infty),\quad D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}$$ es una distancia. A la distancia $D$ se la llama distancia acotada usual de $d.$

Solución
Es claro que para todo $x,y\in X$ se verifica que $D(x,y)$ es número real no negativo. Veamos que $D$ satisface los tres axiomas de distancia.
(1) Al ser $d$ distancia, $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$, con lo cual $$D(x,y)=0\Leftrightarrow \min\{1, d(x,y)\}=0\Leftrightarrow d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y.$$ (2) Para todo $x,y\in X$ se verifica $d(x,y)=d(y,x)$ por ser $d$ distancia, luego $$D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}=\min\{1, d(y,x)\}=D(y,x).$$ (3) Para todo $x,y,z\in X$ vamos a demostrar la desigualdad triangular $$D(x,y)\le D(x,z)+D(z,y).$$ Se verifica $D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}\le 1.$ Entonces, si $D(x,z)=1$ o $D(z,y)=1$ se verifica trivialmente la desigualdad triangular. Si $D(x,z) < 1$ y $D(z,y) < 1$ entonces, $D(x,z)= d(x,z)$ y $D(z,y)=d(z,y).$ Por tanto, $$D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}\le d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=D(x,z)+D(z,y).$$ Concluimos pues que la distancia acotada usual de una distancia cumple los axiomas de distancia.

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