Equivalencia entre toda distancia y su acotada usual

RESUMEN. Demostramos que existe equivalencia entre toda distancia y su acotada usual.

Enunciado
Sea $d$ una distancia en un conjunto no vacío $X$ y sea $D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}$ la distancia acotada usual de $d.$ Demostrar que $d$ y $D$ son distancias equivalentes.

Solución
Veamos que $d$ y $D$ determinan los mismos abiertos en $X.$ Si $G$ es un $d-$abierto entonces para todo $x\in G$ existe $\epsilon_x > 0$ tal que $B_d(x,\epsilon_x)\subset G$ y claramente podemos elegir $\epsilon_x < 1.$ Tenemos, $$y\in B_D(x,\epsilon_x)\Rightarrow D(x,y)=\min\{1,d(x,y)\} < \epsilon_x < 1$$ $$\Rightarrow D(x,y)=d(x,y) < \epsilon_x\Rightarrow B_D(x,\epsilon_x)\subset B_d(x,\epsilon_x)\subset G$$ lo cual implica que $G$ es también un $D-$abierto. Reciprocamente, si $G$ es un $D-$abierto entonces para todo $x\in G$ existe $\epsilon_x > 0$ tal que $B_D(x,\epsilon_x)\subset G$ y claramente podemos elegir $\epsilon_x < 1.$ Tenemos, $$y\in B_d(x,\epsilon_x)\Rightarrow d(x,y) < \epsilon_x < 1\Rightarrow D(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}$$ $$=d(x,y) < \epsilon_x\Rightarrow B_d(x,\epsilon_x)\subset B_D(x,\epsilon_x)\subset G$$ lo cual implica que $G$ es también un $d-$abierto. Queda pues demostrada la equivalencia entre toda distancia y su acotada usual.