Espacios topológicos finitos metrizables

RESUMEN. Demostramos que un espacio topológico finito es metrizable si y sólo si su topología es la discreta.

Enunciado
Sea $(X,T)$ un espacio topológico con $X$ finito. Demostrar que $(X,T)$ es metrizable si y sólo si $T$ es la topología discreta.

Solución
Supongamos que $(X,T)$ es metrizable por la métrica $d.$ Sea $a\in X$ y sea el número real positivo $$r=\min \{d(a,x): x\in X\text{ con }x\ne a\}.$$ Claramente $B(a,r)=\{a\}$ lo cual implica que todo subconjunto unitario de $X$ es abierto, por tanto también son abiertos todos los subconjuntos de $X$ al ser unión de abiertos. Reciprocamente, sea $T$ la topología discreta y consideremos la distancia trivial en $X:$ $$d(x,y)=\left \{ \begin{matrix} 1& \text{si}&x\ne y\\ 0& \text{si}&x=y.\end{matrix}\right.$$ Entonces, para todo $a\in X$ tenemos $B(a,1)=\{a\}$ y por tanto la topología que determina $d$ es la topología discreta.

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