Matriz inversa con parámetro

RESUMEN. Usando el método de Gauss, hallamos la inversa de una matriz con parámetro.

Enunciado
Dada la matriz dependiente del parámetro $x\in\mathbb{R}$: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{x}&{1}\\{0}&{1}&{x}\\{1}&{0}&{1}\end{bmatrix},$$ determinar su inversa, cuando exista, aplicando el método de Gauus.

Solución
Aplicando el método de Gauus, $$\begin{aligned}
&\left[\begin{array}{ccc|ccc}
\boxed{1} & x & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & x & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\begin{matrix}{F_3-F_1}\end{matrix}\\
&\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & x & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \boxed{1} & x & 0 & 1 & 0 \\
0 & -x & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]F_1-xF_2, F_3+xF_2\\
& \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1-x^2 & 1 & -x & 0 \\
0 & 1 & x & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & x^2 & -1 & x & 1
\end{array}\right]\dfrac{1}{x^2}F_3\text{ si }x\ne 0\\
& \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1-x^2 & 1 & -x & 0 \\
0 & 1 & x & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \boxed{1} & -\dfrac{1}{x^2} & \dfrac{1}{x} & \dfrac{1}{x^2}
\end{array}\right] F_1-(1-x^2)F_3, F_2-xF_3 \\
& \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{x^2} & -\dfrac{1}{x} & 1-\dfrac{1}{x^2} \\
0 & 1 & 0 & \dfrac{1}{x} & 0 & -\dfrac{1}{x} \\
0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{x^2} & \dfrac{1}{x} & \dfrac{1}{x^2}
\end{array}\right].
\end{aligned}$$ Entonces,
1. Si $x=0$, la matrix $A$ no es invertible.
2. Si $x\ne 0$, la matriz $A$ es invertible con inversa $$A^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{x^2} & -\dfrac{1}{x} & 1-\dfrac{1}{x^2} \\
\dfrac{1}{x} & 0 & -\dfrac{1}{x} \\
-\dfrac{1}{x^2} & \dfrac{1}{x} & \dfrac{1}{x^2}
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{x^2}\begin{bmatrix} 1 & -x & x^2-1 \\
x & 0 & -x \\
-1 & x & 1
\end{bmatrix}.$$