Dibujo de una conica mediante el teorema espectral

RESUMEN. Usando el teorema espectral clasificamos y dibujamos una cónica.

Enunciado
Se considera la cónica de ecuación $f(x,y)=0,$ en donde $$f(x,y)=\displaystyle\frac{5}{3}y^2+ 4xy – \sqrt{208}y -12$$ (1) Descomponer $f(x,y)$ en suma de una forma cuadrática $q(x,y)$ y un polinomio de primer grado $p(x,y).$
(2) Usando el teorema espectral, encontrar una base ortonormal y de vectores propios de $\mathbb{R}^2$ para la matriz simétrica que representa a $q.$
(3) Expresar la cónica dada en coordenadas $(x^\prime,y^\prime)$ con respecto a la base hallada en el apartado anterior.
(4) Completando cuadrados en la ecuación del apartado anterior, clasificar la cónica y hacer un esbozo de su gráfica en los ejes $x^\prime y^\prime.$
(5) Usando la base ortonormal y de vectores propios hallada en (2), hacer un esbozo de la gráfica de la cónica en los ejes $xy.$

Solución
(1) Podemos expresar $$f(x,y)=\underbrace{\frac{5}{3}y^2-4xy}_{q(x,y)}+\underbrace{\sqrt{208}y -12}_{p(x,y)},$$ en donde $q(x,y)$ es una forma cuadrática y $p(x,y)$ es un polinomio de primer grado.
(2) La expresión matricial de $q$ es $$q(x.y)=\left(x,y\right)M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}, \text{ siendo }M=\begin{pmatrix}{0}&{2}\\{2}& {5/3}\end{pmatrix}.$$ Apliquemos a $M$ el teorema espectral.
Valores propios: $$\begin{vmatrix}{-\lambda}&{2}\\{2}& {5/3-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-\frac{5}{3}\lambda -4=0\Leftrightarrow \lambda=3\vee\lambda =-4/3.$$ Bases de los subespacios propios $$V_3\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} -3x+2y=0\\2x-(4/3)y=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.,\quad B_{V_3}=\{(2,3)\}$$ $$V_{-4/3}\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} (4/3)x+2y=0\\ 2x+3y=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.,\quad B_{V_{-4/3}}=\{(-3,2)\}$$ Una base ortonormal y de vectores propios de $\mathbb{R}^2$ es por tanto $$B’=\{e_1,e_2\}\text{ con }e_1=\frac{1}{\sqrt{13}}(2,3),\;e_2=\frac{1}{\sqrt{13}}(-3,2).$$ (3) La matriz de $P$ de cambio de la base canónica $B=\{(1,0),(0,1)\}$ a la $B’$ es $$P=\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}{2}&{-3}\\{3}&{2}\end{pmatrix}\;\; \text{(ortogonal)},$$ y la expresión del cambio es $$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix} x’\\ y’\end{pmatrix},\text{ o bien }\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} &x=\frac{1}{\sqrt{13}}(2x’-3y’)\\& y=\frac{1}{\sqrt{13}}(3x’+2y’).\end{aligned}\end{matrix}\right.$$Entonces $$f(x,y)=q(x,y)+p(x,y)=\left(x,y\right)M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}+\sqrt{208}y -12$$ $$=(x’,y’)P^tMP\begin{pmatrix} x’\\ y’\end{pmatrix}+\sqrt{208}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}(3x’+2y’)-12 $$ $$=(x’,y’)\begin{pmatrix}{3}& {0}\\{0}&{-4/3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x’\\ y’\end{pmatrix}+12x’+8y’-12$$ $$=3x’^2-\frac{4}{3}y’^2+12x’+8y’-12.$$ La ecuación de la cónica en los nuevos ejes $x’y’$ es por tanto $$3x’^2-\frac{4}{3}y’^2+12x’+8y’-12=0\text{ o bien}$$ $$9x’^2-4y’^2+36x’+24y’-36=0.$$ (4) Completando cuadrados,$$9x’^2-4y’^2+36x’+24y’-36=9(x’^2+4x’)-4(y’^2-6y’)-36$$ $$=9(x’+2)^2-36-4(y’-3)^2+36-36$$ $$=9(x’+2)^2-4(y’-3)^2-36.$$ La ecuación de la cónica en los ejes $x^\prime y^\prime$ es por tanto, $$9(x’+2)^2-4(y’-3)^2-36=0\text{ o bien,}$$ $$\frac{(x’+2)^2}{2^2}-\frac{(y’-3)^2}{3^2}=1 \text{ (Hipérbola)}.$$ En los ejes $x^\prime y^\prime$, la hipérbola tiene su centro en $(-2,3)$ y ejes $2$ y $3$ con lo cual su aspecto gráfico será:

(5) Los ejes anteriores corresponden a las direcciones de $e_1$ y $e_2$, con lo cual dibujando tales vectores, obtenemos el esbozo de la gráfica de la cónica en los ejes $xy:$

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