RESUMEN. Analizamos una integral compleja que depende de dos parámetros.
Enunciado
Sea la integral dependiente de los parámetros $n$ y $\lambda:$ $$I_n\left(R,\lambda \right)=\displaystyle\int _{\gamma _R}\left(\overline{z}\right)^ne^{\lambda z}dz$$ donde $n\in \mathbb{Z}$, $\lambda \in \mathbb{C}$ y $\gamma _R$ es la circunferencia $C\left(i\pi ,R\right),\:R>0$ y $R\ne \pi$ si $n<0.$
(a) Demostrar la fórmula $$I_n\left(R,\lambda \right)=\int _{\gamma _R}\left(\frac{R^2}{z-i\pi }-i\pi \right)^ne^{\lambda z}dz$$ (b) Calcular $I_2\left(R,\lambda \right)$ usando la fórmula integral de Cauchy (generalizada).
(c) Demostrar que $I_n\left(R,\lambda \right)=0$ cuando $n<0$ y $R>\pi$.
(d) Calcular $I_{-1}\left(R,\lambda \right)$ para $R<\pi$ y particularizar el resultado para $R=\pi/2$ y $\lambda =4/3$.
Solución
(a) Tenemos las implicaciones
$$z\in \gamma _R\Rightarrow z=i\pi +Re^{i\theta}\Rightarrow \overline{z}=-i\pi +Re^{-i\theta}=-\pi i+\dfrac{R}{e^{i\theta}}$$ $$=-i\pi +\dfrac{R}{(z-i\pi )/R}=\dfrac{R^2}{z-i\pi }-i\pi,$$ lo cual prueba la fórmula.
(b) Usando el apartado anterior, $$I_2\left(R,\lambda \right)=\int _{\gamma _R}\left(\frac{R^2}{z-i\pi }-i\pi \right)^2e^{\lambda z}dz=\int _{\gamma _R}\frac{\left(R^2-i\pi(z-i\pi)\right)^2e^{\lambda z}}{(z-i\pi)^2}\;dz.$$ La función $f(z)=\left(R^2-i\pi(z-i\pi)\right)^2e^{\lambda z}$ es analítica en $\mathbb{C}$, en particular en $\gamma _R$ y en su interior geométrico por tanto, por la fórmula integral de Cauchy generalizada, $I_2\left(R,\lambda \right)=2\pi if^\prime (i\pi).$ Derivando, $$f^\prime (z)=2\left(R^2-i\pi(z-i\pi)\right)(-i\pi)e^{\lambda z}+\lambda\left(R^2-i\pi(z-i\pi)\right)^2e^{\lambda z}$$ $$\Rightarrow f^\prime (i\pi)=-2R^2\pi ie^{-\lambda \pi i}+\lambda R^4e^{-\lambda \pi i}=R^2e^{-\lambda \pi i}(\lambda R^2-2\pi i).$$ Por tanto, $$I_2\left(R,\lambda \right)=2\pi if^\prime (i\pi)=2\pi iR^2e^{-\lambda \pi i}(\lambda R^2-2\pi i)=R^2e^{-\lambda \pi i}(2\lambda R^2\pi i+4\pi^2).$$ (c) Usando que $n=-|n|$ podemos expresar $I_n\left(R,\lambda \right)$ de la siguiente manera $$I_n\left(R,\lambda \right)=\int _{\gamma _R}\frac{(z-i\pi)^{|n|}e^{\lambda z}}{\left(R^2-i\pi(z-i\pi)\right)^{|n|}}\;dz.$$ Entonces, $z_0$ es punto singular del integrando anterior si y sólo si $R^2-i\pi(z_0-i\pi)=0.$ Resolviendo la ecuación, obtenemos $z_0=(R^2-\pi^2)/(i\pi).$ Ahora bien, $$\left|z_0-\pi i \right|=\left|\frac{R^2-\pi^2}{\pi i}-\pi i \right|=\left|\frac{R^2-\pi^2+\pi^2}{\pi i}\right|=\frac{R^2}{\pi}=R\cdot \underbrace{\frac{R}{\pi}}_{> 1}>R$$ y por tanto, no existen puntos singulares del integrando en $\gamma_R$ ni en su interior geométrico con lo cual por el teorema de Cauchy-Goursat, $I_n\left(R,\lambda \right)=0.$
(d) La integral pedida es $$I_{-1}\left(R,\lambda \right)=\int _{\gamma _R}\frac{\left(R^2-i\pi(z-i\pi)\right)^{-1}e^{\lambda z}}{(z-i\pi)^{-1}}\;dz=\int _{\gamma _R}\frac{(z-i\pi)e^{\lambda z}}{R^2-i\pi(z-i\pi)}\;dz.$$ El posible punto singular del integrando es el $z_0$ del apartado anterior, pero ahora $$\left|z_0-\pi i \right|=R\cdot \underbrace{\frac{R}{\pi}}_{< 1} < R,$$ con lo cual $z_0$ pertenece ahora al interior geométrico de $\gamma_R.$ Como $z_0$ es polo simple de la función $g$ integrando, aplicando el teorema de los residuos de Cauchy, $$I_{-1}\left(R,\lambda \right)=2\pi i \text{Res }[g,z_0]=2\pi i\lim_{z\to z_0}g(z)(z-z_0)$$ $$=2\pi i\lim_{z\to z_0}\frac{(z-i\pi)e^{\lambda z}}{-i\pi (z-z_0)}(z-z_0)=2\pi i\frac{z_0-i\pi}{-i\pi}e^{\lambda z_0}$$ $$=-2\left(\frac{R^2-\pi^2}{\pi i}-i\pi\right)e^{\lambda (R^2-\pi^2)/(\pi i)}=2i\frac{R^2}{\pi }\exp \left\{\lambda\frac{R^2-\pi^2}{\pi i}\right\}.$$ En concreto, para $R=\pi/2$ y $\lambda =4/3$ obtenemos $$I_{-1}\left(R,\lambda \right)=\frac{\pi i}{2}\exp \left\{\frac{4}{3}\frac{R^2-\pi^2}{\pi i}\right\}.$$