Existencia de ideales maximales

RESUMEN. Demostramos la existencia de ideales maximales en los anillos conmutativos y unitarios.

Enunciado
Sea $A\ne \{0\}$ un anillo conmutativo y unitario. Demostrar que
(a) $A$ contiene al menos un ideal maximal.
(b) Si $K\ne (1)$ es un ideal de $A$, existe un ideal maximal de $A$ que contiene a $I.$
(c) Si $x\in A$ no es unidad, $x$ pertenece a un ideal maximal.

Solución
(a) Aplicaremos el lema de Zorn:
Sea $E$ un conjunto no vacío con una relación de orden $\le$. Supongamos que toda cadena de $E$ (subconjunto totalmente ordenado) tiene cota superior. Entonces, $E$ contiene al menos un elemento maximal.
Consideremos el conjunto $\mathcal{I}=\{I: I\text{ es ideal de A} \text{ con } I\ne (1)\}$ y con la relación de orden inclusión. $\mathcal{I}$ no es vacío pues $(0)\in\mathcal{I}.$ Sea $\{I_\alpha\}$ una cadena de elementos de $\mathcal{I}$ lo cual implica que para cada par de índices $\alpha,\beta$ se verifica $I_\alpha\subset I_\beta$ o $I_\beta\subset I_\alpha.$ Sea $J=\bigcup_\alpha I_\alpha.$ Entonces, $J$ es ideal de $A.$ Efectivamente, $0\in J$ pues $0\in I_\alpha$ para todo $\alpha.$ Si $x,y\in J$ entonces $x\in I_\alpha$ e $y\in I_\beta$ para ciertos subíndices $\alpha,\beta.$ Supongamos sin pérdida de generalidad que $I_\alpha \subset I_\beta.$ Entonces, $x,y\in I_\beta$ y al ser $I_\beta$ ideal, $x-y\in I_\beta \subset J.$ Si $a\in A$ y $x\in J,$ existe $\alpha$ tal que $x\in I_\alpha$ y al ser $I_\alpha$ ideal, $ax\in I_\alpha\subset J.$
Queda pues demostrado que $J$ es ideal de $A.$ Además, $1\notin J$ pues $1\notin I_\alpha$ para todo $\alpha,$ es decir $J\ne (1)$ con lo cual $J\in\mathcal{I}.$ Por tanto $J$ es cota superior de la cadena $\mathcal{I}$ y por el lema de Zorn $\mathcal{I}$ tiene un ideal maximal.

(b) Análoga demostración a la del apartado (a) considerando el conjunto $\mathcal{I}=\{I\supset K: I\text{ es ideal de A} \text{ con } I\ne (1)\}$

(c) Llamando $K=(x)$ y al ser $x$ no unidad se verifica $K\ne (1).$ Basta ahora aplicar el apartado (b).

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