RESUMEN. En este problema encontramos relacioes entre espacios conjugados anuladores, núcleo, imagen y aplicación traspuesta. Este ptoblema está relacionado con los enlaces:
Subespacio conjugado o anulador
Aplicación transpuesta
Enunciado
Sea $T:E\to F$ una aplicación lineal y $T^t:F^*\to E^*$ la aplicación lineal transpuesta de $T$, es decir $T^t(f)=f\circ T.$ Demostrar que
(1) $\ker T^t=(\text{Im }T)^0.$ Es decir, el núcleo de la aplicación tranpesta es el anulador de la imagen de la aplicación.
(2) Si $E$ y $F$ son de dimensión finita, entonces $\text{Im }T^t=(\ker T)^0.$ Es decir, la imagen de la aplicación tranpesta es el anulador del núcleo de la aplicación.
Solución
(1) Efectivamente, tenemos las siguientes equivalencias $$f\in \ker T^t\Leftrightarrow T^t(f)=0\Leftrightarrow f\circ T=0\Leftrightarrow f\left(T(x)\right)=0\;\;\forall x\in E$$ $$\Leftrightarrow f(\text{Im }T)=0 \Leftrightarrow f\in (\text{Im }T)^0.$$ $(2)$ Tenemos las implicaciones $$f\in\text{Im }T^t \Rightarrow \exists g\in F^*:T^t(g)=f\Rightarrow \exists g\in F^*:g\circ T=f$$ $$\Rightarrow \forall x\in \ker T, f(x)=g[T(x)]=g(0)=0\Rightarrow f(\ker T)=0\Rightarrow f\in(\ker T)^0.$$ Es decir, $\text{Im }T^t\subset(\ker T)^0.$ Nótese que este contenido se verifica para espacios vectoriales cualesquiera, sean de dimensión finita o no. Si $\dim E=n$ y $\dim F=m$ son finitas, entonces aplicando el teotrema de las dimensiones para aplicaiones lineales y que $\text{rg }T=\text{rg }T^t:$ $$\dim (\ker T)^0=n-\dim (\ker T)=n-(n-\dim (\text{Im }T) $$ $$=\dim (\text{Im }T)=\dim (\text{Im }T^t).$$ Entonces, de $\text{Im }T^t\subset(\ker T)^0$ y $\dim (\ker T)^0=\dim (\text{Im }T^t)$ se deduce $\text{Im }T^t=(\ker T)^0.$