Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad

RESUMEN. Construimos el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad como caso particular de un anillo construdo a partir de un subconjunto multiplicativamente cerrado.

Enunciado
Sea $A$ un anillo conmutativo y unitario. Sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de $A$, es decir tal que $1\in S$ y $S$ es cerrado para la multiplicación.
(1) Demostrar que la relación en $A\times S$ dada por $$(a,s)\sim (b,t)\Leftrightarrow (at-bs)u=0 \text{ para algún } u\in S,$$ es de equivalencia.
(2) Denotemos por $S^{-1}A$ al conjunto cociente $(A\times S)/\sim$ y por $\dfrac{a}{s}$ a la clase de equivalencia de $(a,s).$ En $S^{-1}A$ definimos las operaciones $$\text{Suma: }\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st}.\;\;\text{Producto: } \frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st}.$$ Demostrar que están bien definidas es decir, no dependen del representante elegido.
(3) Demostrar que con las operaciones suma y producto definidas en el apartado anterior, $S^{-1}A$ es anillo conmutativo y unitario.
(4) Demostrar que $f:A\to S^{-1}A$ dado por $f(x)=\dfrac{x}{1}$ es un homomorfismo de anillos unitarios.
(5) Sea ahora $A$ un dominio de integridad, es decir un anillo conmutativo, unitario y sin divisores de cero. Consideremos $S=A-\{0\}.$ Demostrar que $S^{-1}A$ es un cuerpo que contiene una copia de $A$ (se le llama cuerpo de fracciones de $A$).
(6) Identificar en el anillo usual $A=\mathbb{Z}$ su cuerpo de fracciones.

Solución
(1) Reflexiva. Para todo $(a,s)\in A\times S$ se verifica $(as-as)1=0$ y $1\in S,$ por tanto $(a,s)\sim (a,s).$
Simétrica. Si $(a,s)\sim (b,t)$ entonces, $(at-bs)u=0$ con $u\in S$ lo cual implica que $(bs-at)u=0$, luego $(b,t)\sim (a,s).$
Transitiva. Si $(a,s)\sim (b,t)$ y $(b,t)\sim (c,r)$, existen $u,w\in S$ tales que $(at-bs)u=0$ y $(br-ct)w=0.$ Tenemos $$\left \{ \begin{matrix} (at-bs)u=0\\(br-ct)w=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} atu-bsu=0\\brw-ctw=0.\end{matrix}\right.$$ Multiplicando a la primera ecuación por $rw,$ a la segunda por $su$ y sumando ambas obtenemos $(ar-cs)tuw=0$. Como $t,u,w\in S$ y $S$ es cerrado bajo la multiplicación deducimos que $(a,s)\sim (c,r).$
(2) Se verifica $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{a}{s}=\dfrac{a^\prime}{s^\prime}\\{}\\\dfrac{b}{t}=\dfrac{b^\prime}{t^\prime}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} (as^\prime-a^\prime s)u=0\text{ con }u\in S\\(bt^\prime-b^\prime t)v=0\text{ con }v\in S\end{matrix}\right.$$ Tenemos que demostrar que $$\dfrac{a}{s}+\dfrac{b}{t}=\dfrac{a^\prime}{s^\prime}+\dfrac{b^\prime}{t^\prime}\text{ o bien que }\dfrac{at+bs}{st}=\dfrac{a^\prime t^\prime +b^\prime s^\prime}{s^\prime t^\prime}.$$ Equivalentemente, que existe $w\in S$ tal que $([at + bs]s^\prime t^\prime – [a^\prime t^\prime + b^\prime s^\prime]st)w = 0.$ Llamemos $w=uv.$ Entonces $w\in S$ y además $$w([at + bs]s^\prime t^\prime – [a^\prime t^\prime +b^\prime s^\prime]st) = uv(as^\prime tt^\prime + bss^\prime t^\prime – a^\prime stt^\prime – b^\prime ss^\prime t)$$ $$= u(as^\prime – as)tt^\prime v+v(bt^\prime – b^\prime t)ss^\prime u = 0+0 = 0.$$ En consecuencia, la suma está bien definida en $S^{-1}A.$ Procedemos de manera análoga para el producto. Tenemos que demostrar que
$$\dfrac{a}{s}\cdot\dfrac{b}{t}=\dfrac{a^\prime}{s^\prime}\cdot\dfrac{b^\prime}{t^\prime}\text{ o bien que }\dfrac{ab}{st}=\dfrac{a^\prime b^\prime }{s^\prime t^\prime}.$$ Equivalentemente, que existe $w\in S$ tal que $(abs^\prime t^\prime – a^\prime b^\prime st) w=0.$ De nuevo, eligiendo $w=uv:$ $$w(abs^\prime t^\prime – a^\prime b^\prime st) = uv(abs^\prime t^\prime – a^\prime bst^\prime + a^\prime bst^\prime – a^\prime b^\prime st)$$ $$= u(as^\prime – a^\prime s)bt^\prime v + v(bt^\prime – b^\prime t)a^\prime su = 0 + 0 = 0.
$$ En consecuencia, también el producto está bien definido en $S^{-1}A.$
(3) La operación suma en $S^{-1}A$ está bien definida y es interna. Veamos que es asociativa. $$\forall\; \frac{a}{s},\frac{b}{t},\frac{c}{r}\in S^{-1}A,\;\left(\frac{a}{s}+\frac{b}{t}\right)+\frac{c}{r}=\frac{at+bs}{st}+\frac{c}{r}$$ $$=\frac{atr+bsr+cst}{str}=\frac{a}{s}+\frac{br+ct}{tr}=\frac{a}{s}+\left(\frac{b}{t}+\frac{c}{r}\right).$$ También es conmutativa pues $$\forall\; \frac{a}{s},\frac{b}{t}\in S^{-1}A,\;\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st}=\frac{bs+at}{ts}=\frac{b}{t}+\frac{a}{s}.$$ Por otra parte, $$\forall\; \frac{a}{s}\in S^{-1}A,\;\frac{0}{1}+\frac{a}{s}=\frac{0s+a1}{1s}=\frac{a}{s},$$ con lo cual $\dfrac{0}{1}$ es elemento neutro para la suma. Además $$\forall\; \frac{a}{s}\in S^{-1}A,\;\frac{a}{s}+\frac{-a}{s}=\frac{as+(-a)s}{s^2}=\frac{0}{s^2}=\frac{0}{1}.$$ La última igualdad se deduce de que $(0\cdot 1-0s^2)1=0.$ Es decir, todo elemento de $S^{-1}A$ tiene opuesto respecto de la suma. Concluimos pues que $(S^{-1}A,+)$ es grupo abeliano.
La operación producto en $S^{-1}A$ está bien definida y es interna. Veamos que es asociativa. $$\forall\; \frac{a}{s},\frac{b}{t},\frac{c}{r}\in S^{-1}A,\;\left(\frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}\right)\cdot\frac{c}{r}=\frac{ab}{st}\cdot\frac{c}{r}$$ $$=\frac{(ab)c}{(st)r}=\frac{a(bc)}{s(tr)}=\frac{a}{s}\cdot\frac{bc}{tr}=\frac{a}{s}\cdot \left(\frac{b}{t}\cdot\frac{c}{r}\right).$$ También es conmutativa pues $$\forall\; \frac{a}{s},\frac{b}{t}\in S^{-1}A,\;\frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}=\frac{ab}{st}=\frac{ba}{ts}=\frac{b}{t}\cdot\frac{a}{s}.$$ Por otra parte, $$\forall\; \frac{a}{s}\in S^{-1}A,\;\frac{1}{1}\cdot\frac{a}{s}=\frac{1a}{1s}=\frac{a}{s},$$ con lo cual $\dfrac{1}{1}$ es elemento unidad para el producto. Por último, veamos que el producto es distributivo respecto de la suma. $$\forall\; \frac{a}{s},\frac{b}{t},\frac{c}{r}\in S^{-1}A,\;\left(\frac{a}{s}+\frac{b}{t}\right)\cdot\frac{c}{r}=\frac{at+bs}{st}\cdot\frac{c}{r}$$ $$=\frac{atc+bsc}{str}=\underbrace{\frac{r}{r}}_{=\frac{1}{1}}\cdot\frac{atc+bsc}{str}=\frac{actr+bcsr}{str^2}$$ $$=\frac{ac}{sr}+\frac{bc}{tr}=\frac{a}{s}\cdot\frac{c}{r}+\frac{b}{t}\cdot\frac{c}{r}.$$ Queda demostrado que $(S^{-1}A,+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario.
(4) Efectivamente, se verifica
(i) $\forall x,y\in A,f(x+y)=\dfrac{x+y}{1}=\dfrac{x\cdot1+y\cdot 1}{1\cdot1}=\dfrac{x}{1}+ \dfrac{y}{1}=f(x)+f(y).$
(ii) $\forall x,y\in A,f(xy)=\dfrac{xy}{1}=\dfrac{xy}{1\cdot1}=\dfrac{x}{1}\cdot \dfrac{y}{1}=f(x)f(y).$
(iii) $f(1)=\dfrac{1}{1}$ (elemento unidad de $S^{-1}A$).
(5) El subconjunto $S$ es multiplicativamente cerrado pues $1\in A-\{0\}$ y dados $s,t\in A-\{0\}$, al no existir divisores de cero, $st\in S=A-\{0\}.$ Vimos en el apartado (3) que $S^{-1}A$ es anillo conmutativo y unitario. Falta pues demostrar que todo elemento no nulo de $S^{-1}A$ tiene inverso. Si $\dfrac{a}{s}=\dfrac{0}{1}$ entonces, $(a1-0s)u=0$ para algún $u\in S$ es decir, $au=0$ con $u\ne 0$ y al no existir divisores de cero, ha de ser $a=0.$ Entonces, $$\frac{a}{s}\ne \frac{0}{1}\Rightarrow a\ne0\Rightarrow \frac{a}{s}\cdot \frac{s}{a}=\frac{as}{as}=\frac{1}{1}.$$ Concluimos pues que $S^{-1}A$ es un cuerpo.
Vimos en el apartado (4) que $f:A\to S^{-1}A$ dado for $f(x)=\dfrac{x}{1}$ es homomorfismo de anillos unitarios. Además, $$\ker f=\left\{x\in A:f(x)=\frac{x}{1}=\frac{0}1{}\right\}=\{0\},$$ con lo cual $f$ es inyectiva y por tanto $A\cong \text{Im }f\subset S^{-1}A.$ Es decir, el cuerpo de fracciones $S^{-1}A$ contiene una copia de $A.$
(6) El anillo usual $\mathbb{Z}$ es dominio de integridad y debido a la construcción hecha, su cuerpo de fracciones es $(\mathbb{Z}-\{0\})^{-1}\mathbb{Z}=\mathbb{Q}.$

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