Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja

RESUMEN. Determinamos el máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja en el disco cerrado unidad.

Enunciado
Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de $\left|z^{2n+m}+iaz^{n+m}+z^m\right|$ en $\left|z\right|\le 1$ con $a\in \mathbb{R}$ y $n,m$ enteros no negativos.

Solución
La función $f(z)=z^{2n+m}+iaz^{n+m}+z^m$ es holomorfa en todo el plano complejo, en particular en disco cerrado unidad $|z|\le 1.$ Como consecuencia del principio del módulo máximo, el máximo de $|f(z)|$ se alcanza en la frontera $|z|=1.$ En tal frontera tenemos $z=e^{it}$ con $t\in\mathbb{R}$. Entonces, $$|f(z)|^2=\left|z^{2n+m}+iaz^{n+m}+z^m\right|^2=\left|z^m\right|^2\left|z^{2n}+iaz^{n}+1\right|^2$$ $$=\left|z^{2n}+iaz^{n}+1\right|^2 =(z^{2n}+iaz^{n}+1)(\overline{z^{2n}+iaz^{n}+1})$$ $$=(e^{2nti}+iae^{nti}+1)(e^{-2nti}-iae^{-nti}+1)$$ $$=1+iae^{-nti}+e^{-2nti}-iae^{nti}+a^2-iae^{-nti}+e^{2nti}+iae^{nti}+1$$ $$=2+a^2+e^{2nti}+e^{-2nti}=2+a^2+2\cos \left(2nt\right).$$ El valor máximo de $\cos \left(2nt\right)$ es $1$ que se obtiene por ejemplo para $t=0.$ En consecuencia, $$\max_{|z|\le 1}|f(z)|=\max_{|z|=1}|f(z)|=\sqrt{4+a^2}.$$ Para el mínimo tenemos $|f(0)|=0$ con lo cual $\min_{|z|\le 1}|f(z)|=0.$

Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , . Guarda el enlace permanente.