Sistema libre de infinitas funciones troceadas

RESUMEN. Demostramos que un sistema libre de infinitas funciones troceadas es libre.

Enunciado
Para cada $n\in \mathbb{Z}_{>0}$ se considera la función $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$: $$f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}{0}&\text{si}& 0\leq x\leq \dfrac{1}{n+1}\\2n(n+1)x-2n & \text{si}& \dfrac{1}{n+1} < x<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right)\\1 & \text{si}& x=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right)\\-2n(n+1)x+2n+2&\textsf{si}& \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right) < x <\dfrac{1}{n}\\0&\textsf{si}&\dfrac{1}{n}\leq x\leq 1\end{matrix}\right.$$ Demostrar que el sistema $S=\{f_n:n\in \mathbb{Z}_{>0}\}$ es libre.

Solución
Nótese que $x_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)$ es el punto medio del intervalo $[1/(n+1),1/n]$, por tanto podemos escribir $$f_n(x)=\left \{ \begin{matrix}{0}&\text{si}& 0\leq x\leq \dfrac{1}{n+1}\\
2n(n+1)x-2n & \text{si}& \dfrac{1}{n+1} < x < x_n\\
1 & \text{si}& x=x_n\\-2n(n+1)x+2n+2&\textsf{si}& x_n < x < \dfrac{1}{n}\\
0&\textsf{si}&\dfrac{1}{n}\leq x\leq 1\end{matrix}\right.$$ Por otra parte es inmediato verificar que las funciones $f_n$ son continuas, que en el intervalo $[0,1/(n+1)]$ la función se anula, que en $[1/(n+1), x_n]$ la gráfica de $f_n$ es el segmento que une los puntos $P(1/(n+1),0)$ con $Q(x_n,1)$, en $[x_n,1/n]$ es el segmento que une los puntos $Q(x_n,1)$ con $(1/n,0)$ y en $[1/n,0]$ la función se anula. En otra palabras, la gráfica de $f_n$ toma el valor $0$ fuera del intervalo $[1/(n+1),1/n]$ y en dicho intervalo forma un triángulo isósceles con altura $1$ en el punto medio $x_n$. En consecuencia, se verifica $$f_n(x_m)=\left \{ \begin{matrix}{1}&\text{si}& n=m\\0 & \text{si}& n\neq m.\end{matrix}\right.$$ Veamos ahora que $S$ es sistema libre. Consideremos un subconjunto genérico finito $T=\left\{f_{n_1},\ldots,f_{n_k}\right\}$ de $S$ y supongamos que $\lambda_1 f_{n_1}+\ldots +\lambda_k f_{n_k}=0.$ Llamando $$x_{n_j}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n_j}+\dfrac{1}{n_j+1}\right)\quad 1\le j \le k,$$ tenemos $\lambda_1 f_{n_1}\left(x_{n_j}\right)+\ldots +\lambda_k f_{n_k}\left(x_{n_j}\right)=0\left(x_{n_j}\right)$ lo cual implica que $\lambda_{n_j}=0$ para todo $1\le j \le k$ es decir, $T$ es sistema libre y por ende, así lo es $S.$