Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$

RESUMEN. Demostramos la relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$.

Enunciado
Se considera la sucesión de Fibonacci $$f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\;(n\ge 2).$$ Sea la matriz $$A=\left[\begin{array}{cc}1&1 \\ 1&0\end{array}\right].$$ (a) Demostrar por inducción que $$\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \\ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]=A^n\;(\forall n\ge1).$$ (b) Demostrar que $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2\; (\forall{n\geq{1}}).$

Solución
(a) Para $n=1$ tenemos $$\left[\begin{array}{cc}f_{2}&f_1 \\ f_1&f_{0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1 \\ 1& 0\end{array}\right]=A^1$$ luego la relación es cierta para $n=1.$ Sea la fórmula cierta para $n.$ Entonces, $$\left[\begin{array}{cc}f_{n+2}&f_{n+1} \\ f_{n+1}&f_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}+f_n&f_{n+1} \\ f_{n}+f_{n-1}&f_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \\ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&1 \\ 1&0\end{array}\right]$$ $$\underbrace{=}_{\text{Hip. induc.}}A^nA=A^{n+1}$$ luego la fórmula es cierta para $n+1.$
(b) Usando el apartado anterior, $$\left[\begin{array}{cc}f_{2n+1}&f_{2n} \\ f_{2n}&f_{2n-1}\end{array}\right]=A^{2n}=A^nA^n=\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \\ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \\ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]$$ e igualando los elementos $a_{11}$ de la igualdad anterior, obtenemos la relación de Fibonacci $$f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2\; (\forall{n\geq{1}}).$$

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