Dos números algebraicos

RESUMEN. Demostramos que dos números son algebraicos.

Enunciado
Demostrar que los siguientes números son algebraicos
(a) $7+\sqrt[3]{2}$.
(b) $\sqrt{3} +\sqrt{-5}$.

Solución
(a) Si $a=7+\sqrt[3]{2}$, entonces $a-7=\sqrt[3]{2}$ y por tanto $(a-7)^3=2.$ Es decir, $a\in\mathbb{R}$ es raíz del polinomio $p(x)=(x-7)^3-2\in \mathbb{Q}[x]$ lo cual implica que $7+\sqrt[3]{2}\in\mathbb{R}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$.
(b) Si $b=\sqrt{3} +\sqrt{-5}$, entonces $b^2=3-5+2\sqrt{-5}=-2+2\sqrt{-5}$ y por tanto $b^2+2=2\sqrt{-5}.$ Elevando al cuadrado queda $(b^2+2)^2=-60.$ Es decir, $b\in\mathbb{C}$ es raíz del polinomio $q(x)=(x^2+2)^2+60\in \mathbb{Q}[x]$ lo cual implica que $\sqrt{3} +\sqrt{-5}\in\mathbb{C}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$.

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