Conmutatividad de la suma en los anillos

RESUMEN. Demostramos que en un anillo conmutativo y unitario, la conmutatividad de la suma se puede deducir de los restantes axiomas.

Enunciado
Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo conmutativo y unitario. Demostrar que la conmutatividad de la suma se puede deducir de los restantes axiomas.

Solución
En efecto, sean $a,b\in A.$ Usando las propiedades distributiva, conmutativa del producto y existencia de elemento unidad, $$(a+1)(b+1)=a(b+1)+1(b+1)=(b+1)a+(b+1)1$$ $$=ba+1a+b1+1\cdot1=ba+a+b+1.$$ De la misma manera, $$(b+1)(a+1)=b(a+1)+1(a+1)=ba+b1+1a+1\cdot 1$$ $$=ba+b+a+1.$$ Pero por la conmutatividad del producto, $(a+1)(b+1)=(b+1)(a+1)$ con lo cual $$ ba+a+b+1=ba+b+a+1.$$ Ahora bien, en todo grupo, conmutativo o no, todo elemento es cancelable a izquierda y derecha. Cancelando $ba$ a la izquierda y $1$ a la derecha queda $a+b=b+a$, lo cual prueba que la conmutatividad de la suma se puede deducir de los restantes axiomas.