Ceros complejos de las funciones seno y coseno

RESUMEN. Demostramos que los ceros complejos las funciones seno y coseno son los mismo que los ceros reales.

Enunciado
Determinar los ceros en $\mathbb{C}$ de las funciones seno y coseno complejos.

Solución
Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow e^{-2y+2xi}=1\Leftrightarrow e^{-2y}(\cos 2x+i\sin 2x)=1$$ $$\Leftrightarrow e^{-2y}=1\wedge \cos 2x =1\wedge \sin 2x=0 \Leftrightarrow y=0 \wedge 2x= 2k\pi\;(k\in\mathbb{Z}),$$ lo cual proporciona los ceros $z=k\pi\;(k\in\mathbb{Z}).$
Por otra parte $$\cos z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0\Leftrightarrow e^{iz}+\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=-1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=-1\Leftrightarrow e^{-2y+2xi}=-1\Leftrightarrow e^{-2y}(\cos 2x+i\sin 2x)=-1$$ $$\Leftrightarrow e^{-2y}=1\wedge \cos 2x =-1\wedge \sin 2x=0 \Leftrightarrow y=0 \wedge 2x= (2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z}),$$ lo cual proporciona los ceros $z=\pi/2+k\pi\;(k\in\mathbb{Z}).$

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