Plano de fases de $x^\prime=x,y^\prime=y^2$

RESUMEN. Esbozamos el plano de fases de un sistema diferencial autónomo.

Enunciado
Se considera el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x^\prime=x\\y^\prime=y^2\end{matrix}\right.$$ (1) Determinar sus soluciones.
(2) Esbozar el plano de fases asociado al sistema.

Solución
(1) Las ecuaciones del sistema son independientes y de variables separadas. Entonces, $$x^\prime =x,\;\frac{dx}{dt}=x,\;\frac{dx}{x}=dt,\;\int \frac{dx}{x}=\int dt,\;\log|x|=t+C,$$ $$e^{\log |x|}=e^{t+C},\;x=e^Ce^t, \;x=C_1e^t.$$ $$y^\prime=y^2,\;\frac{dy}{dt}=y^2,\;\frac{dy}{y^2}=dt,\;\int\frac{dy}{y^2}=\int dt,\;-\frac{1}{y}=t+C,$$ $$y=\frac{1}{-C-t},\; y=\frac{1}{C_2-t}.$$ Es decir, $(x,y)=\left(C_1e^t,1/(C_2-t)\right)$.
(2) Para esbozar el plano de fases, estudiemos el signo de las componentes del campo $v=(x,y^2)$ según regiones. $$R_1\equiv x < 0\wedge y\ne 0\Rightarrow v=(-,+).$$ $$R_2\equiv x < 0\wedge y = 0\Rightarrow v=(-,0).$$ $$R_3\equiv x = 0\wedge y \ne 0\Rightarrow v=(0,+).$$ $$R_4\equiv x = 0\wedge y =0\Rightarrow v=(0,0).$$ $$R_5\equiv x > 0\wedge y\ne 0\Rightarrow v=(+,+).$$ $$R_6\equiv x > 0\wedge y = 0\Rightarrow v=(+,0).$$ El plano de fases es por tanto