Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$

RESUMEN. Determinamos todos los coeficientes $c_n$ $(n < 0)$ del desarrollo en serie de Laurent de la función $1/\sin^2z$ en la corona $\pi < |z| < 2\pi$.

Enunciado
Sea $\displaystyle\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_nz^n$ el desarrollo de Laurent de $f(z)=\dfrac{1}{\sin^2 z}$ en la corona $\pi <\left|z\right|<2\pi$. Obtener todos los coeficientes $c_n$ para $n<0$.
Sugerencia. Se puede expresar $c_n$ mediante una integral. Demostrar previamente que: $$\operatorname{Res}_{z=0}\dfrac{z^m}{\sin^2 z}=\delta _{m,1}\quad (m\ge 0).$$ en donde $\delta _{m,1}$ es delta de Kronecker.

Solución
Usando la identidad $\sin^2z=(1-\cos 2z)/2$, $$\displaystyle\dfrac{z^m}{\sin^2 z}=\dfrac{2z^m}{1-\cos 2z}=\frac{2z^m}{1-\left(1-\dfrac{(2z)^2}{2|}+\dfrac{(2z)^4}{4|}-\dfrac{(2z)^6}{6!}+\ldots\right)}$$ $$=\frac{2z^m}{2z^2-\cfrac{2z^4}{3}+\cfrac{4z^6}{45}-\dotsm}\displaystyle=\frac{z^{m-2}}{1-\cfrac{z^2}{3}+\cfrac{2z^4}{45}-\dotsm}.$$ Efectuando la división según potencias crecientes obtenemos $$\dfrac{z^m}{\sin^2 z}=\frac{z^{m-2}}{1-\cfrac{z^2}{3}+\cfrac{2z^4}{45}-\dotsm}=z^{m-2}+\frac{1}{3}z^m+\ldots$$ en donde los restantes terminos son potencias de $z^{m+2}, z^{m+4},z^{m+6},\ldots$
Para $m\ge 0$ obtenemos $$m=0\Rightarrow \frac{z^m}{\sin^2 z}=\displaystyle\frac{1}{z^2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\ldots$$ $$m=1\Rightarrow \frac{z^m}{\sin^2 z}={\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\frac{1}{3}z+\ldots}$$ $$m=2\Rightarrow \frac{z^m}{\sin^2 z}=1+\displaystyle\frac{1}{3}z^2+\ldots$$ $$m=3\Rightarrow \frac{z^m}{\sin^2 z}=z+\displaystyle\frac{1}{3}z^3+\ldots$$ etc. Entonces $\text{coef }(1/z)=1$ si $m=1$ y $\text{coef }(1/z)=0$ para $m\ge 0$ y $m \ne 1$ en consecuencia, $$\operatorname{Res}_{z=0}\dfrac{z^m}{\sin^2 z}=\text{coef }\frac{1}{z}=\delta _{m,1}\quad (m\ge 0).$$ Los coeficientes pedidos sabemos que se pueden expresar en la forma $$c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}\displaystyle\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}\displaystyle\frac{1}{z^{n+1}\sin^2z}dz$$ siendo $\gamma$ cualquier circunferencia de centro el origen contenida en la región $\pi < |z| < 2\pi$, por ejemplo $\gamma\equiv |z|=3\pi/2.$ Dado que los $c_n$ se piden para $n < 0$, llamando $m=-n-1$ podemos escribir $$ c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{|z|=3\pi/2}\displaystyle\frac{z^m}{\sin^2z}dz\quad (m\ge 0). $$ Llamemos $g(z)=z^m/\sin^2 z$. Los puntos singulares de $g(z)$ en el interior geométrico de $|z|=3\pi/2$ son $z=0$ (polo simple) y $z=\pm \pi$ (polos dobles), en consecuencia y aplicando el teorema de los residuos de Cauchy, $$c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{|z|=3\pi/2}\displaystyle g(z)dz=\operatorname{Res}_{z=0}g(z)+\operatorname{Res}_{z=\pi}g(z)+\operatorname{Res}_{z=-\pi}g(z).\quad (*)$$ El residuo en $z=0$ ya lo hemos calculado. Hallémoslo ahora para $z=\pi$
$$ \displaystyle\operatorname{Res}_{z=\pi}g(z)= \lim_{z \to \pi} \frac{d}{dz} \dfrac{(z-\pi)^2z^m}{\sin^2 z} .$$ Tenemos $$\frac{d}{dz} \dfrac{(z-\pi)^2z^m}{\sin^2 z}=$$ $$\frac{[2(z-\pi)z^m+(z-\pi)^2mz^{m-1}]\sin^2z-(2\sin z\cos z)(z-\pi)^2z^m}{\sin^4z}:=E.$$ Haciendo el cambio $w=z-\pi$ y teniendo en cuenta que $\sin (w+\pi)=-\sin w$ y que $\cos (w+\pi)=-\cos w$ podemos escribir $$E=\frac{[2w(w+\pi)^m+w^2m(w+\pi)^{m-1}]\sin^2w-(2\sin w\cos w)w^2(w+\pi)^m}{\sin^4w}$$ $$=\frac{(w(w+\pi)^{m-1}\sin w)[2(w+\pi)+mw]\sin w-w^2(\sin w)(2\cos w)(w+\pi)^m}{\sin^4w}$$ $$=\frac{(w+\pi)^{m-1}w\sin w[((m+2)w+2\pi)\sin w-2w(w+\pi)\cos w]}{\sin ^4w}.$$ Si $z\to \pi$ entonces, $w\to 0$ y al ser $w\sim \sin w$ cuando $w\to 0$, a efectos de calcular el límite $$E\sim (w+\pi)^{m-1}\cdot \frac{w^2[((m+2)w+2\pi)\sin w-2w(w+\pi)\cos w]}{w^4}$$ $$=(w+\pi)^{m-1}\cdot \frac{[(m+2)w+2\pi]\sin w-2w(w+\pi)\cos w}{w^2}$$ Si $w\to 0$ entonces, $(w+\pi)^{m-1}\to\pi^{m-1}.$ Ahora, aplicando la regla de L’Hopital, $$\lim_{w\to 0}\frac{[(m+2)w+2\pi]\sin w-2w(w+\pi)\cos w}{w^2}=\left\{ \frac{0}{0}\right\}$$ $$\lim_{w\to 0}\frac{(m+2)\sin w+[(m+2)w+2\pi]\cos w-(4w+2\pi)\cos w+2w(w+\pi)\sin w}{2w}$$ $$=\left\{ \frac{2\pi-2\pi}{0}\right\}=\left\{ \frac{0}{0}\right\}.$$ Apliquemos de nuevo la regla de L’Hopital. La derivada del numerador es $$(m+2)\cos w+(m+2)\cos w +[(m+2)w+2\pi](-\sin w)$$ $$-4\cos w-(4w+2\pi)(-\sin w)$$ $$+(4w+2\pi)\sin w+2w(w+\pi)\cos w$$ $$\underbrace{\to}_{w\to 0}m+2+m+2-4=2m.$$ La derivada del denominador es $2$, en consecuencia, de los resultados anteriores: $$ \displaystyle\operatorname{Res}_{z=\pi}g(z)=m\pi^{m-1}. $$ Usando razonamientos análogos a los anteriores obtenemos $$ \displaystyle\operatorname{Res}_{z=-\pi}g(z)=(-1)^{m}m\pi^{m-1}.$$ Usando $(*)$ y que $m=-n-1$: $$n=-1\Rightarrow m=0\Rightarrow c_{-1}=0+0\pi^{-1}+0(-1)^{0}\pi^{-1}=0.$$ $$n=-2\Rightarrow m=1\Rightarrow c_{-2}=1+1\pi^{0}+1(-1)^{0}\pi^{0}=3.$$ $$n < -1\text{ impar}\Rightarrow m > 1\text{ impar}\Rightarrow c_n=0+m\pi^{m-1}+(-1)^{m}m\pi^{m-1}=0.$$ $$n < -2\text{ par}\Rightarrow m > 1\text{ par}\Rightarrow c_n=0+m\pi^{m-1}+(-1)^{m}m\pi^{m-1}=2m\pi^{m-1}.$$ Podemos concluir que los coeficientes pedidos son $$\begin{aligned}
&c_{-1}=0, \;c_{-2}=3.\\
& c_{n}=0 \quad\text{ si } n < -1 \text{ impar}.\\
& c_{n}=-2(n+1)\pi^{-n-2}\quad \text{ si } n < -2 \text{ par}.
\end{aligned}$$

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