Factorización canónica de una aplicación

RESUMEN. Construimos la factorización canónica de una aplicación.

Enunciado
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f:A\to B$ una aplicación.
(1) Demostrar que la relación en $A$: $$xR y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$$ es de equivalencia. Determinar el conjunto cociente $A/R$.
(2) Demostrar que la aplicación $$\overline f :A/R\;\to \operatorname{Im}f,\quad \overline f\left([x]\right)=f(x)$$ está bién definida y es biyectiva.
(3) Se considera la aplicación proyección canónica $n:A\to A/R$ dada por $n(x)=[x]$ (claramente sobreyectiva) y la aplicación $i:\operatorname{Im}f\to B$ dada por $i(y)=y$ (claramente inyectiva). Demostrar que el siguiente diagrama es conmutativo $$\begin{matrix}A\xrightarrow{\;\;\;\;\;f\;\;\;\;\;}B\\n\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow{} i\\ A/R\xrightarrow{\;\;\overline f\;\;}\operatorname{Im}f\end{matrix}$$

Solución
(1) Para todo $x\in A$ se verifica $f(x)=f(x)$, por tanto $R$ es reflexiva. Para todo par $x,y\in a$, $$xR y\Rightarrow f(x)=f(y)\Rightarrow f(y)=f(x)\Rightarrow yR x\Rightarrow \;R \text{ es simétrica.}$$ Para toda terna $x,y,z\in A$ $$\left \{ \begin{matrix}xR y\\yR z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}f(x)=f(y)\\f(y)=f(z)\end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)=f(z)\Rightarrow xR z\Rightarrow \;R \text{ es transitiva.}$$ Si $x\in A$, entonces la clase de equivalencia determinada por $x$ es $$[x]=\{t\in A:f(t)=f(x)\}.$$ (2) Veamos que está bien definida. En efecto, si $[x]\in A/R$ entonces $\overline f\left([x]\right)=f(x)\in\operatorname{Im}f.$ Por otra parte, no depende del representante elegido pues si $[x_1]=[x_2]$ entonces $f(x_1)=f(x_2)$ con lo cual $$\overline f\left([x_1]\right)=f(x_1)=f(x_2)=\overline f\left([x_2]\right).$$ Es inyectiva pues $$\overline f\left([x]\right)=\overline f\left([y]\right)\Rightarrow f(x)=f(y)\Rightarrow xR y\Rightarrow [x]=[y].$$ Es sobreyectiva pues si $b\in\operatorname{Im}f$, $b$ es de la forma $b=f(x)$ con $x\in A$, es decir $b=\overline f\left([x]\right).$
(3) Efectivamente, para todo $x\in A$ tenemos $$(i\circ\overline f\circ n)(x)=(i\circ\overline f)(n(x))=(i\circ\overline f)([x])=i\left((\overline f)([x])\right)=i(f(x))=f(x)$$ es decir, $f=i\circ\overline f\circ n$ por tanto el diagrama es conmutativo.
Nota. A la igualdad $f=i\circ\overline f\circ n$ se la llama factorización canónica de la aplicación $f.$

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