Problema de las coincidencias de Montmort

RESUMEN. Resolvemos el problema de las coincidencias de Montmort.

Enunciado
Una secretario tiene escritas $n$ cartas y $n$ sobres.
(1) Si se ponen al azar las cartas en los sobres, ¿cuál es la probabilidad $P$ de al menos una coincidencia?
(2) Usando el desarrrollo en serie del número $e^{-1}$ dar una fórmula razonable al problema de las coincidencias de Montmort para $n$ grande.

Solución
(1) Supongamos los sobres numerados del $1$ al $n$ y sus correspondientes cartas también del $1$ al $n.$ Llamemos $A_1$ el suceso que la carta $1$ vaya al sobre $1$ independientemente de lo que ocurra en las demás inserciones, $A_2$ el suceso que la carta $2$ vaya al sobre $2$ independientemente de lo que ocurra en las demás inserciones, etcétera. La probabilidad pedida es $P=p(A_1\cup A_2\cup \ldots\cup A_n).$ Aplicaremos la conocida fórmula $$ p\left(A_1\cup \ldots \cup A_n\right)=\sum_{i=1}
^np\left(A_i\right)-\sum_{i,j=1,\;i < j}
^np\left(A_i\cap A_j\right)+$$ $$ \sum_{i,j,k=1,\;i < j < k}
^np\left(A_i\cap A_j\cap A_k\right)+\ldots +(-1)^{n+1}p\left(A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_n\right). $$ Aplicando la regla de Laplace (casos favorables entre casos posibles) obtenemos $$\begin{aligned}
&p(A_i)=\dfrac{(n-1)!}{n!}=\dfrac{1}{n},\\
& p(A_i\cap A_j)=\dfrac{(n-2)!}{n!}=\dfrac{1}{n(n-1)},\\
& p(A_i\cap A_j\cap A_k)=\dfrac{(n-3)!}{n!}=\dfrac{1}{n(n-1)(n-2)},\\
&\ldots,
\end{aligned}$$ Es decir, $$ P=p\left(A_1\cup \ldots \cup A_n\right)=n\dfrac{1}{n}-\binom{n}{2}\dfrac{1}{n(n-1)}+ \binom{n}{3}\dfrac{1}{n(n-1)(n-2)}-\ldots$$ $$ =1-\dfrac{1}{2!} +\dfrac{1}{3!}-\ldots +(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n!}.$$ (2) Tenemos $$e^{-1}=1+\dfrac{(-1)}{1!}-\dfrac{(-1)^2}{2!} +\dfrac{(-1)^3}{3!}-\ldots +\dfrac{(-1)^{n}}{n!}+R_n(x)$$ $$ =1-\left( 1-\dfrac{1}{2!} +\dfrac{1}{3!}-\ldots +(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n!} \right)+R_n(x) $$ con $R_n(x)\to 0$ cuando $n\to +\infty.$ Por tanto, para $n$ grande, $$ P=1-\dfrac{1}{2!} +\dfrac{1}{3!}-\ldots +(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n!}\approx 1-e^{-1}. $$