Infinitud de los números primos. Demostración analítica

RESUMEN. Damos una demostración analítica de la infinitud de los números primos.

Teorema
Existen infinitos números primos.

Demostración
Supongamos que solo existe un número finito de primos $p_1,\ldots,p_r.$ Consideremos el producto $$P=\prod_{k=1}^r\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}$$ y expresemos cada factor como suma de una serie geométrica convergente: $$\frac{1}{1-1/p}=1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots .$$ Para cualquier $K$ natural fijo tenemos $$\frac{1}{1-1/p}\ge 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots+\frac{1}{p^K}.$$ Sustituyendo en la expresión de $P,$ $$P\ge \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^K}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^K}\right)$$ $$\cdot \left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{5^K}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{p_r}+\frac{1}{p_r^2}+\cdots+\frac{1}{p_r^K}\right)$$ $$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=\sum_{n\in\mathcal{N}(K)}\frac{1}{n},$$ siendo $\mathcal{N}(K)=\left\{n\in\mathbb{N}:n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}\text{ con }\alpha_i\le K \text{ para todo }i\right\}$, es decir $\mathcal{N}(K)$ es el conjunto de los números naturales con la propiedad de que cada factor primo no aparece más de $K$ veces. Dado cualquier $n\in \mathbb{N},$ si $K$ es suficientemente grande, entonces $n\in \mathcal{N}(K)$ con lo cual, $$P\ge \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},$$ lo cual es absurdo pues $P$ es finito y la serie armónica es diveregente.