Infinitud de los números primos. Demostración elemental

RESUMEN. Damos una demostración elemental de la infinitud de los números primos.

Teorema
Existen infinitos números primos.

Demostración
Supongamos que existiera solamente un número finito de primos y sean estos $p_1,\ldots, p_r.$ Consideremos el número $$N=p_1\cdot\ldots \cdot p_r+1.$$ Por el teorema fundamental de la aritmética, $N$ ha de ser divisible por algún $p_k.$ Dado que $p_k$ también divide a $p_1\cdot\ldots \cdot p_r$ también divide a la diferencia $$N-p_1\cdot\ldots \cdot p_r=1$$ lo cual es imposible pues $p_k > 1.$