Teorema de representación de Euler

RESUMEN. Demostramos el teorema de representación de Euler.

Teorema
Si $\zeta$ es la función zeta de Riemann y $\sigma > 1$ se verifica $$\zeta(\sigma)=\prod_{p\text{ primo}}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p^\sigma}}.$$ Demostración
Se verifica $$\left(1-\frac{1}{2^\sigma}\right)\zeta (\sigma)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\sigma}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^\sigma}=\sum_{n\text{ impar}}\frac{1}{n^\sigma}=1+\sum_{p\mid n\Rightarrow p>2}\frac{1}{n^\sigma}.$$ Para $P$ primo suficientemente grande y repitiendo el mismo razonamiento para cada uno de los primos $3,5,\ldots,P$ obtenemos $$\left(1-\frac{1}{2^\sigma}\right)\left(1-\frac{1}{3^\sigma}\right)\left(1-\frac{1}{5^\sigma}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{P^\sigma}\right)\zeta(\sigma)=1+\sum_{p\mid n\Rightarrow p > P}\frac{1}{n^\sigma}$$ La última suma es una subsuma de la cola de la serie convergente que define a $\zeta (\sigma)$ y por tanto tiende a $0$ cuando $P\to +\infty.$ En consecuencia, $$\lim_{P\to+\infty}\left(1-\frac{1}{2^\sigma}\right)\left(1-\frac{1}{3^\sigma}\right)\left(1-\frac{1}{5^\sigma}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{P^\sigma}\right)\zeta(\sigma)=1.$$ Es decir $$\zeta(\sigma)=\prod_{p\text{ primo}}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p^\sigma}}.$$