Acotación de una suma de logaritmos de números primos

RESUMEN. Damos una acotación para la suma $\displaystyle\sum_{p\le n}\log p$ con $p$ primo.
Teorema
Para todo $n\ge 1$ natural se verifica $$\sum_{p\le n}\log p < 2n\log 2.$$ Demostración
Obsérvese previamente que para $n=1$ el lado izquierdo de la desigualdad es una suma vacía y por tanto igual a $0$ con lo cual, la desigualdad se cumple. Supondremos pues que $n\ge 2.$ Consideremos el número natural $$M=\binom{2m+1}{m}=\frac{(2m+1)!}{m!(m+1)!}.$$ Se verifica $\binom{2m+1}{m}=\binom{2m+1}{m+1}$ por ser números combinatorios complementarios con lo cual $M$ aparece dos veces como coeficiente en el desarrollo binomial $2^{2m+1}=(1+1)^{2m+1}$ por tanto $2M < 2^{2m+1}$ o bien, $M < 2^{2m}.$ Si $p$ es un primo tal que $m+1 < p \le 2m+1$, entonces $p$ divide al numerador de $M$ pero no al denominador con lo cual divide a $M$ en consecuencia, $$\prod_{m+1 < p \le 2m+1}p\mid M.$$ Tomando logaritmos, $ \sum_{m+1 < p \le 2m+1} \log p\le \log M$ con lo cual $$\sum_{ p \le 2m+1} \log p-\sum_{ p \le m+1}\log p= \sum_{m+1 < p \le 2m+1} \log p \le \log M \le 2m\log 2.$$ Demostremos el lema por inducción. Es claro que se verifica para $n\le 2$ y supongamos que es cierto para todo $n\le k-1.$ Si $k$ es par, entonces $$ \sum_{p \le k} \log p= \sum_{p \le k-1} \log p \underbrace{<}_{\text{Hip. induc}}2(k-1)\log 2 < 2k \log2,$$ con lo cual es cierto para $n=k.$ Si $k$ es impar, entonces $k=2m+1,$ por tanto $$\sum_{p \le 2m+1} \log p=\sum_{p \le 2m+1} \log p-\sum_{p \le m+1} \log p+\sum_{p \le m+1} \log p$$ $$ < 2m\log 2\underbrace{+}_{\text{Hip. induc.}}2(m+1)\log 2=2(2m+1)\log 2=2k\log 2,$$ con lo cual es cierto para $n=k.$