Probabilidad condicionada

RESUMEN. Definimos el concepto de probabilidad condicionada.

Definición. Sea $(E,\mathcal{M}, p)$ un espacio de probabilidad y $A\in\mathcal M$ un suceso tal que $p(A) > 0.$ Llamamos probabilidad condicionada del suceso $B\in \mathcal M$ respecto del $A$ y la representamos por $p(B| A) $ al cociente $$p(B|A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}.$$ Intuitivamente, la probabilidad condicionada $p(B| A) $ mide la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que ha ocurrido $A.$

Ejercicio. Demostrar vía frecuencias que la probabilidad condicionada $p(B|A)$ efectivamente mide de forma intuitiva la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que ha ocurrido $A.$

Solución. Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio y supongamos que realicemos dicho experimento $N$ veces. Si en tales pruebas ha resultado $N_A$ veces el suceso $A$ y de entre estas ha resultado $N_{AB}$ veces el suceso $B$, se verifica $$\operatorname{fr}(A)=\frac{N_A}{N},\;\;\text{fr}(B|A)=\frac{N_{AB}}{N_A},\;\:\text{fr}(A\cap B)=\frac{N_{AB}}{N}$$ con lo cual, $$\frac{N_{AB}}{N}=\frac{N_A}{N}\cdot\frac{N_{AB}}{N_A} $$ y por tanto, $$ \text{fr}(A\cap B)=\text{fr}(A)\cdot \text{fr}(B|A) $$ o bien, $$\text{fr}(B|A)=\frac{\text{fr}(A\cap B)}{\text{fr}(A)}\;\;(\text{Si }\text{fr}(A) > 0).$$ Para $N\to +\infty$ obtendríamos la definición formal dada de probabilidad condicionada.

Proposición. Fijado $A\in \mathcal M$ con $p(A) > 0$ entonces $(E,\mathcal{M}, p_A)$ es un espacio probabilístico siendo $$p_A:\mathcal M \to \mathbb R,\quad p_A(B)=p(B|A).$$ Demostración. Veamos que se verifican los tres axiomas de probabilidad.
1) Como $p$ es probabilidad se verifica $0\le p(B|A)\le 1$ para todo suceso $B$ y por tanto, $0\le p_A(B)\le 1.$
2) Si $B_1,B_2,\ldots$ son elementos de $\mathcal{M}$ disjuntos dos a dos, entonces $B_1\cap A,B_2\cap A, \ldots$ también son disjuntos dos a dos y al ser $p$ una probabilidad, $$p_A \left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)={p\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n|A\right)}=\frac{p\left[\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\cap A\right]}{p(A)}=\frac{p\left[\bigcup_{n=1}^\infty (B_n\cap A)\right]}{p(A)}$$ $$=\frac{\sum_{n=1}^\infty p(B_n\cap A)}{p(A)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{p(B_n\cap A)}{p(A)} =\sum_{n=1}^\infty p(B_n|A)=\sum_{n=1}^\infty p_A(B_n).$$ 3) Se verifica $$p_A(E)=p(E|A)=\frac{p(E\cap A)}{p(A)}=\frac{p(A)}{p(A)}=1.$$ Ejercicio. En un colegio el $25\%$ de los alumnos suspendió Matemáticas, el $15\%$ suspendió Química y el $10\%$ suspendieron las dos. Se seleciona un alumno al azar.
(a) Si suspendió Química ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera Matemáticas?
(b) Si suspendió Matemáticas ¿cuáll es la probabilidad de que suspendiera Química?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera Mátemáticas o Química?

Solución. (a) Denotemos por $M$ al suceso el alumno suspendió Matemáticas y por $Q$ al suceso suspendió Química. Entonces, $$ p(M)=\frac{25}{100}=\frac{1}{4},\;\; p(Q)=\frac{15}{100}=\frac{3}{20},\;\; p(M\cap Q)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10} $$ Se pide la probabilidad condicionada $p(M|Q)$. Entonces, $$p(M|Q)=\frac{p(M\cap Q)}{p(Q)}=\frac{1/10}{3/20}=\frac{2}{3}.$$ (b) Se pide la probabilidad condicionada $p(Q|M)$. Entonces, $$p(Q|M)=\frac{p(Q\cap M)}{p(M)}=\frac{1/10}{1/4}=\frac{2}{5}.$$ (c) Se pide $p(M\cup Q)$. Entonces, $$p(M\cup Q)=p(M)+p(Q)-p(M\cap Q)=\frac{1}{4}+\frac{3}{20}-\frac{1}{10}=\frac{3}{10}.$$