Partes del producto y producto de las partes

RESUMEN. Determinamos los cardinales de las partes del producto y del producto de las partes para conjuntos finitos.

Enunciado
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de cardinales $|A|=n$ y $|B|=m.$
(a) Determinar los cardinales de las partes del producto $\mathcal P(A\times B)$ y del producto de las partes $\mathcal P(A)\times \mathcal P(B).$
(b) Determinar $\mathcal P(A\times B)$ y $\mathcal P(A)\times \mathcal P(B)$ para $A=\{a_1\},$ $B=\{b_1,b_2\}.$

Solución
(a) Se verifica $$\begin{aligned}&\left|\mathcal P(A\times B)\right|=2^{|A\times B|}=2^{|A||B|}=2^{nm},\\
&\left|\mathcal P(A)\times \mathcal P(B)\right|=\left|\mathcal P(A)\right|\left|\mathcal P(B)\right|=2^{|A|}2^{|B|}=2^n2^m=2^{n+m}.
\end{aligned}$$ (b) Tenemos $A\times B=\{a_1\}\times \{b_1,b_2\}=\{(a_1,b_1),(a_1,b_2)\}$ por tanto el conjunto de las partes del producto es $$\mathcal P(A\times B)=\left\{\emptyset,\{(a_1,b_1)\}, \{(a_1,b_2)\},A\times B\right\}.$$ Por otra parte el producto de las partes es $$\mathcal P(A)\times \mathcal P(B)=\left\{\emptyset, A\right\}\times \left\{\emptyset,\{b_1\},\{b_2\}, B\right\}$$ $$=\left\{(\emptyset,\emptyset),(\emptyset,\{b_1\}), (\emptyset,\{b_2\}),(\emptyset,B),(A,\emptyset),(A,\{b_1\}), (A,\{b_2\}),(A,B)\right\}.$$

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