Convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$

RESUMEN. Demostramos que la serie compleja $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$ converge si $\text{Im }z=0$ y diverge si $\text{Im }z\ne 0.$

Enunciado
(a) Siendo $n$ un entero positivo, y $x$ real, determinar la suma $$S_n=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx .$$ (b) Usando el criterio de Dirichlet para la convergencia de series, demostrar que para todo $x\in\mathbb R$ la serie$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$$ es convergente.
(c) Demostrar que la serie compleja $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nz}{n}$$ es divergente para $\text{Im }z\ne 0.$

Solución
(a) Escribamos $$T_n=\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx,\quad S_n=\sin x+\sin 2x+\ldots+\sin nx.$$ Obtenemos para $e^{ix}-1\neq 0:$
$$T_n+S_ni=e^{ix}+e^{i2x}+\ldots+e^{inx}=\dfrac{e^{ix}(e^{inx}-1)}{e^{ix}-1}$$ $$=e^{ix}\cdot \dfrac{e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}}\cdot \dfrac{e^{\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}=e^{ix}\cdot \dfrac{2i\sin\frac{nx}{2}}{2i\sin \frac{x}{2}}\cdot
e^{\frac{i(n-1)x}{2}}$$ $$=\dfrac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2} }\cdot e^{i\frac{(n+1)x}{2}}=\dfrac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\cdot \left(\cos \frac{n+1}{2}x+i\sin \frac{n+1}{2}x\right) .$$ Igualando partes imaginarias, obtenemos la suma pedida $$S_n=\sin x+\sin 2x+\ldots+\sin nx=\dfrac{\sin \dfrac{nx}{2}\cdot \sin \dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}.$$ Nota: la relación $e^{ix}-1=0$ es equivalente a $x=2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$. En este caso, la suma pedida es claramente $S_n=0$.

(b) La serie se puede expresar en la forma $\sum_{n=1}^\infty \lambda_ny_n$ con $\lambda_n=1/n$ e $y_n=\sin nx.$ La sucesión $(\lambda_n)$ es claramente monótona con límite $0.$ Veamos que las sumas parciales de la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n$ estan acotadas. En efecto, $$\sum_{k=1}^{n}y_n=\sum_{k=1}^{n}\sin kx=S_n.$$ Vimos en el apartado anterior que $S_n=0$ si $x$ es múltiplo de $2\pi$ (luego las sumas parciales están acotadas). Si $x$ no es múltiplo de $2\pi$,
$$S_n=\dfrac{\sin \dfrac{nx}{2}\cdot \sin \dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}.$$ Entonces, $$\left|S_n\right|=\left|\dfrac{\sin \dfrac{nx}{2}\cdot \sin \dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\right|\le \frac{1}{\left|\sin \dfrac{x}{2}\right|}.$$ Esta cota es finita pues $x/2$ no es múltiplo de $\pi.$ Deducimos pues del criterio de Dirichlet que la serie dada es convergente.

(c) Sea $z=x+iy$ con $x,y$ reales. Entonces
$$\displaystyle\vert \sin nz \vert=\left| \frac{e^{inz}-e^{-inz}}{2i}\right|\ge\frac{1}{2}\left|\left|e^{inz}\right|-\left|e^{-inz}\right|\right|=\frac{1}{2}\left|\left|e^{-ny}\right|-\left|e^{ny}\right|\right|.$$ Por tanto, si $y > 0$ $$\left|\frac{\sin nz}{n}\right|=\frac{e^{ny}-e^{-ny}}{2n}\underbrace{\to}_{n\to +\infty} +\infty$$ y si $y < 0$ $$\left|\frac{\sin nz}{n}\right|=\frac{e^{-ny}-e^{ny}}{2n}\underbrace{\to}_{n\to +\infty} +\infty.$$ El término general no tiende a $0$ y por tanto la serie es divergente.