Norma en el espacio de las funciones de clase 1

RESUMEN. Construimos una norma en el espacio de las funciones de clase 1 en el intervalo cerrado $[a,b].$

Enunciado
En el espacio vectorial $C^1[a,b]$ de las funciones reales definidas en $[a,b]$ con derivada continua, demostrar que $$ \|f\|=\max |f(t)|+\max |f^{\prime}(t)|$$ es una norma en $C^1[a,b].$

Solución
Para toda función del espacio de las funciones de clase $1$, al ser $f$ y $f^\prime$ continuas en $[a,b]$ también lo son $|f|$ y $|f^\prime|$ en consecuencia existen $\max |f(t)|$, $\max |f^\prime(t)|$ y ambos máximos son no negativos, por tanto $\|f\|\ge 0$ para toda $f\in C^1[a,b].$ Por otra parte, $$\|f\|=0\Leftrightarrow \max |f(t)|+\max |f^{\prime}(t)|=0\Leftrightarrow \max |f(t)|=0\;\wedge\;\max |f^{\prime}(t)|=0$$ $$\Leftrightarrow f(t)=0\;\forall t\in C^1[a,b]\Leftrightarrow f=0.$$ Para toda $f\in C^1[a,b]$ y para todo $\lambda\in \mathbb R$ se verifica $$ \|\lambda f\|=\max |(\lambda f)(t)|+\max |(\lambda f^{\prime})(t)|=\max |\lambda f(t)|+\max |\lambda f^{\prime}(t)|$$ $$=|\lambda|\max | f(t)|+|\lambda|\max | f^{\prime}(t)|=|\lambda|(\max | f(t)|+|\max | f^{\prime}(t)|)=|\lambda|\|f\|.$$ Para cada par de funciones $f,g\in C^1[a,b]$ se verifica $$\|f+g\|=\max |(f+g)(t)|+\max |(f+g)^{\prime}(t)|=\max |f(t)+g(t)|+\max |f^{\prime}(t)+g^{\prime}(t)|$$ $$\le \left(\max |f(t)|+\max |g(t)|\right)+(\max |f^{\prime}(t)|+\max |g^{\prime}(t)|)= \|f\|+ \|g\|.$$ Concluimos que $\|\;\|$ es norma en $C^1[a,b].$