Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos

Enunciado
Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $x^3-x+2=0.$

Solución
Es ecuación del tipo $x^3+px+q=0\text{ con } p,q\in\mathbb{C}$ cuyas soluciones sabemos que son $$x=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuaando $\alpha\beta=-p/3.$ En nuestro caso $p=-1, q=2$ con lo cual $$x=\displaystyle\underbrace{\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\beta}.$$ Eligiendo $\alpha_1$ y $\beta_1$ los valores reales de las raíces cúbicas anteriores tenemos $$\alpha_1\beta_1=\sqrt [3]{(-1)^2-\frac{26}{27}}=\sqrt [3] {\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}=-\frac{p}{3}.$$ Por un conocido teorema, las tres raíces de la ecuación son por tanto $$\begin{aligned}& x_1=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}+\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}.\\ & x_2=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}\cdot\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}.\\ & x_3=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}\cdot\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}\cdot \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}.\end{aligned}$$ cuyos valoes aproximados son $$\begin{aligned}& x_1\approx -1,5214.\\ & x_2\approx 0,76069+0,85787i.\\ & x_3\approx 0,76069-0,85787i\end{aligned}$$