Inversa de la transformación de Möbius

RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es aplicación biyectiva y determinamos su inversa.

Enunciado
Sea $\mathbb C_{\infty}=\mathbb C \cup {\infty}$ el plano complejo ampliado. Se llama transformación de Mobius a cualquier función $T:\mathbb{C}_\infty\to\mathbb{C}_\infty$ definida por $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d} \text{ con } a,b,c,d\in\mathbb{C}, ad-bc\ne0$$ en donde se usan los convenios habituales $$\begin{aligned} &T(\infty)=a/c,\;\; T(-d/c)=\infty, & \text{si }c\ne 0\;\\
& T(\infty)=\infty & \text{si }c=0.\end{aligned}$$

Demostrar que:
(1) Toda transformación $T$ de Möbius es aplicación biyectiva.
(2) La inversa de $T$ es la función $$T^{-1}: \mathbb C_{\infty} \to \mathbb C_{\infty},\quad T^{-1}(z)=\frac{dz-b}{-cz+a}$$ que también es una transformación de Möbius.

Solución
(1) a) Veamos que $T$ es inyectiva. Para $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ $$T(z_1)=T(z_2)\Rightarrow \frac{az_1+b}{cz_1+d}=\frac{az_2+b}{cz_2+d}\Rightarrow (az_1+b)(cz_2+d)=(cz_1+d)(az_2+b)$$ $$acz_1z_2+bcz_2+daz_1+bd=caz_1z_2+daz_2+cbz_1+bd$$ $$\Rightarrow bcz_2+daz_1=daz_2+cbz_1$$ $$\Rightarrow \underbrace{(bc-da)}_{\ne0}z_2=(bc-da)z_1\Rightarrow z_1=z_2$$ Falta verificar que para todo $z\in\mathbb C$ se cumple $T(z)\ne T(\infty).$ En efecto, si $c=0$ tenemos $T(z)\in \mathbb C$ y $T(\infty)=\infty$ es decir, $T(z)\ne T(\infty).$ Si $c\ne 0$ $$T(z)=T(\infty)\Rightarrow\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}\Rightarrow c(az+b)=a(cz+d)$$ $$\Rightarrow acz+cb=acz+ad \Rightarrow ad-bc=0\text{ (absurdo)}.$$ Por tanto ha de ser $T(z)\ne T(\infty).$
b) Demostremos que $T$ es sobreyectiva. Sea $w\in\mathbb C_{\infty}.$ Veamos que existe único $z\in \mathbb C_{\infty}$ tal que $T(z)=w.$
Caso $c\ne 0$. Entonces, si $w\in\mathbb C$$$T(z)=w\Leftrightarrow \frac{az+b}{cz+d}=w\Leftrightarrow az+b= cwz+dw\Leftrightarrow (a-cw)z=dw-b$$ Si $w\ne a/c$ tenemos $z=\dfrac{dw-b}{a-cw}$ y si $w=a/c$, entonces $T(\infty)=a/c.$
Por otra parte, si $w=\infty$ entonces $T(-d/c)=\infty.$
Caso $c= 0$. En este caso $ad\ne 0$, es decir $a\ne 0$ y $d\ne 0.$ Si $w\in\mathbb C$$$T(z)=w\Leftrightarrow \frac{az+b}{d}=w\Leftrightarrow az+b= dw\Leftrightarrow z=\frac{dw-b}{a}.$$ Si $w=\infty$ entonces $T(\infty)=\infty.$
(2) De los resultados de la sobrectividad deducimos que $$T^{-1}(w)=\dfrac{dw-b}{-cw+a}\text{ con }da-(-c)(-b)=ad-cb\ne 0$$ $$\begin{aligned} &T^{-1}(\infty)=-d/c,\;\; T^{-1}(a/c)=\infty, & \text{si }c\ne 0\;\\
& T^{-1}(\infty)=\infty & \text{si }c=0.\end{aligned}$$ lo cual demuestra que $T^{-1}$ es transformación de Möbius.