Grupo de las transformaciones de Möbius

RESUMEN. Demostramos las transformaciones de Möbius forman un grupo con la operación composición.

Si $T=\dfrac{az+b}{cz+d}$ es una transformación de Möbius, denominamos a la matriz $$M_T=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}$$ matriz asociada $T$ y claramente $\det M_T\ne 0.$

Enunciado
(1) Sean $T_1$ y $T_2$ dos transformaciones de Möbius. Demostrar que la composición $T_1\circ T_2$ también es transformación de Möbius y que $$M_{T_1\circ T_2}=M_{T_1}M_{T_2}.$$ (2) Sea $\mathcal M=\{T:\mathbb{C}_\infty\to\mathbb{C}_\infty : T\text{ es transformación de Möbius}\}$. Demostrar que $(\mathcal M,\circ)$ es grupo.

Solución
(1) Sean $T_1(z)=\dfrac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1},\quad T_2(z)=\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}.$ Entonces,
$$(T_1\circ T_2)(z)=T_1(T_2(z))=T_1\left(\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}\right)=\frac{a_1\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+b_1}{c_1\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+d_1}$$ $$=\frac{\dfrac{(a_1a_2+c_2b_1)z+a_1b_2+d_2b_1}{c_2z+d_2}}{\dfrac{(c_1a_2+c_2d_1)z+c_1b_2+d_2d_1}{c_2z+d_2}}=\frac{(a_1a_2+c_2b_1)z+a_1b_2+d_2b_1}{(c_1a_2+c_2d_1)z+c_1b_2+d_2d_1}.$$ $$ \begin{bmatrix}{a_1}&{b_1}\\{c_1}&{d_1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{a_2}&{b_2}\\{c_2}&{d_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{a_1a_2+b_1c_2}&{a_1b_2+b_1d_2}\\{c_1a_2+d_1c_2}&{c_1b_2+d_1d_2}\end{bmatrix}\Rightarrow M_{T_1}M_{T_2}=M_{T_1\circ T_2}.$$ Como $\det M_{T_1}\ne 0$ y $\det M_{T_2}\ne 0$, $\det M_{T_1\circ T_2}=(\det M_{T_1})(\det M_{T_2})\ne 0$ y $T_1\circ T_2$ es por tanto transformación de Möbius.

(2) Según el apartado anterior, la operación composición es interna en $\mathcal M.$ La composición es asociativa en $\mathcal M$ por serlo en general. La aplicación identidad $I(z)=z$ claramente pertenece a $\mathcal M$ y es por tanto elemento neutro de $\mathcal M.$ También sabemos que si $T\in \mathcal M$ (ver Inversa de la transformación de Möbius) entonces $T^{-1}\in \mathcal M.$ Concluimos que $(\mathcal M,\circ)$ es grupo.