Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$

RESUMEN. Demostramos que el grupo de las transformaciones de Möbius es isomorfo al grupo lineal complejo de orden 2 sobre su centro.

Enunciado
Sea $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ el grupo lineal de las matrices cuadradas complejas de orden $2$ y $\mathcal{M}$ el grupo de las transformaciones de Möbius.
(1) Demostrar que $$\pi :\text{GL}_2(\mathbb{C})\to \mathcal{M},\quad \pi \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}=T,\text{ con }T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ es homomorfismo de grupos.
(2) Demostrar que el núcleo de $\pi$ está formado por las matrices escalares de $\text{GL}_2(\mathbb{C})$, esto es por las matrices de la forma $$A(\lambda)=\begin{bmatrix}{\lambda}&{0}\\{0}&{\lambda}\end{bmatrix} \text{ con }\lambda\ne 0.$$ (3) Demostrar que el grupo $\mathcal{M}$ es isomorfo al grupo cociente $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$ en donde $Z$ representa al centro de $\text{GL}_2(\mathbb{C}).$

Solución
(1) Para $A_1=\begin{bmatrix}{a_1}&{b_1}\\{c_1}&{d_1}\end{bmatrix}, A_2=\begin{bmatrix}{a_2}&{b_2}\\{c_2}&{d_2}\end{bmatrix}$ elementos de $\text{GL}_2(\mathbb{C}),$
$$\pi \left(A_1A_2\right)=\pi\begin{bmatrix}{a_1a_2+b_1c_2}&{a_1b_2+b_1d_2}\\{c_1a_2+d_1c_2}&{c_1b_2+d_1d_2}\end{bmatrix}=\frac{(a_1a_2+b_1c_2)z+a_1b_2+b_1d_2}{(c_1a_2+d_1c_2)z+c_1b_2+d_1d_2}.$$ Por otra parte, $$\pi (A_1)=\dfrac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1},\quad \pi \left(A_2\right)=\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2},$$ $$\pi \left(A_1\right)\circ \pi\left(A_2\right) =\frac{a_1\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+b_1}{c_1\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+d_1}=\frac{(a_1a_2+b_1c_2)z+a_1b_2+b_1d_2}{(c_1a_2+d_1c_2)z+c_1b_2+d_1d_2}.$$ En consecuencia $\pi \left(A_1A_2\right)=\left(A_1\right)\circ \pi\left(A_2\right)$ y por tanto $\pi$ es homomorfismo de grupos.

(2) El núcleo de $\pi$ está formado por las matrices $A=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}$ de $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ tales que $\pi(A)$ es la aplicación identidad, es decir $$\frac{az+b}{cz+d}=z \text{ para todo }z\in \mathbb{C}_\infty.$$ Si $A(\lambda)=\begin{bmatrix}{\lambda}&{0}\\{0}&{\lambda}\end{bmatrix} \text{ con }\lambda\ne 0$ se verifica $\pi [A(\lambda)](z)=\dfrac{\lambda z}{\lambda}=z$ para todo $z\in\mathbb{C}_\infty$ lo cual implica que $A(\lambda)\in \ker \pi.$ Recíprocamente, si $A \in \ker \pi$ entonces $$\pi (A)(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}=z\text{ para todo }z\in\mathbb{C}_\infty.$$ Esto implica $az+b=cz^2+dz$ para todo $z$ con lo cual $c=0, a=d, b=0$ y $A$ es por tanto matriz escalar de la forma $A(a)$ con $a\ne 0.$

(3) El homomorfismo $\pi$ es trivialmente suprayectivo, es decir $\operatorname{Im}\pi=\mathcal M$ y por el primer teorema de isomorfía para grupos, $\text{GL}_2(\mathbb{C})/\ker \pi\cong \mathcal M.$ Por otra parte, $\ker \pi$ es el conjunto de las matrices escalares de $\text{GL}_2(\mathbb{C)}$ que por una conocida propiedad de matrices son exactamente las de $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ que conmutan con todas las demás i.e. $\ker \pi=Z.$ En consecuencia se verifica $\mathcal M\cong\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z.$