Transformaciones de Möbius elementales

RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es composición de transformaciones de Möbius elementales.

Sean la transformaciones $$ \text{(i) Traslaciones. } z\mapsto a+z, (a\in\mathbb C)\quad \text{(ii) Giros. } z\mapsto e^{i\alpha}z, (\alpha \in \mathbb R)$$ $$\begin{aligned}& \text{(iii) Dilataciones. } z\mapsto rz, (r > 0)\quad \text{(iv) Inversión. } z\mapsto 1/z.\end{aligned}$$ Estas transformaciones son claramente de Möbius y se las llama elementales.

Enunciado
Demostrar que toda transformación de Möbius es composición de transformaciones elementales.

Solución
Sea la transformación de Möbius $T(z)=(az+b)/(cz+d).$ Consideremos los casos $c=0$ y $c\ne 0.$

Caso $c=0.$ En tal caso $a$ y $d$ son no nulos y $T(z)=(a/d)z+b/d.$ Llamemos $\alpha=\arg \left(a/d\right)$. Consideremos las transformaciones elementales $$T_1(z)=e^{i\alpha}z\text{ (giro) },T_2(z)=\left|\frac{a}{d}\right|z\text{ (dilatación)}, T_3(z)=z+\frac{b}{d} \text{ (traslación)}.$$ Entonces, $$(T_3\circ T_2 \circ T_1)(z)=(T_3\circ T_2)(e^{i\alpha}z)=T_3\left(\left|\frac{a}{d}\right|e^{i\alpha}z)\right)=T_3\left(\frac{a}{d}z\right)=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}=T(z),$$ es decir $T_3\circ T_2 \circ T_1=T.$

Caso $c\ne 0.$ Efectuando la división euclídea de $az+b$ entre $cz+d$ obtenemos $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{b-d/c}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\cdot \frac{1}{z+d/c}.$$ Sea $\beta =\arg \dfrac{bc-ad}{c^2}$ y las aplicaciones elementales $$T_1(z)=z+\frac{d}{c},\;T_2(z)=\frac{1}{z},\;T_3(z)=e^{i\beta}z,\;T_4(z)=\left|\frac{bc-ad}{c}\right|z,\; T_5(z)=z+\frac{a}{c}.$$ Entonces, $$(T_5\circ T_4 \circ T_3 \circ T_2\circ T_1)(z)=(T_5\circ T_4 \circ T_3 \circ T_2)\left(z+\frac{d}{c}\right)=(T_5\circ T_4 \circ T_3)\left(\frac{1}{z+d/c}\right)$$ $$=(T_5\circ T_4)\left(e^{i\beta}\frac{1}{z+d/c}\right)=T_5\left(\left|\frac{bc-ad}{c}\right|e^{i\beta}\frac{1}{z+d/c}\right)$$ $$=T_5\left(\dfrac{bc-ad}{c^2}\cdot \frac{1}{z+d/c}\right)=\dfrac{bc-ad}{c^2}\cdot \frac{1}{z+d/c}+\frac{a}{c}=T(z),$$ es decir $T=T_5\circ T_4 \circ T_3 \circ T_2\circ T_1.$