Determinación de una transformación de Möbius

RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius queda determinada conociendo los transformados de una terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty$ en otra terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty.$

Enunciado
1. Demostrar que si una transformación de Möbius deja fijos los puntos $0,1,\infty$, dicha transformación es la identidad.
2. Demostrar que si $z_1,z_2,z_3$ y $w_1,w_2, w_3$ son dos ternas de $\mathbb{C}_{\infty}$, ambas de elementos distintos dos a dos, existe una única transformación de Möbius $T$ tal que $T(z_i)=w_i\;(i=1,2,3).$
3. Encontrar la transformación de Möbius $T$ que satisface $$T(0)=i,T(-i)=1,T(-1)=0.$$

Solución
1. Por la definición de transformación de Möbius, si $T(\infty)=\infty$ necesariamente es $c=0$ y en conseuencia $ad=0$ o bien, $a\ne 0$ y $d\ne 0.$ Queda pues $$T(z)=\frac{az+b}{d}\quad (a\ne 0,d\ne 0).$$ Como $T(0)=0$ se deduce $b/d=0$ con lo cual $b=0$ y por tanto $T(z)=(az)/d.$ Como $T(1)=1$ se deduce $a/d=1$ y por tanto, $T(z)=z$ (aplicación identidad).
2. Consideremos dos casos, uno particular y el general.
   Caso 1. Caso particular $w_1=0,w_2=1, w_3=\infty.$ Definamos $T$ de las siguientes maneras $$(i)\;\;T(z)=\frac{z-z_1}{z-z_3}\frac{z_2-z_3}{z_2-z_1}\text{ si } z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}$$ $$(ii)\;\:T(z)=\frac{z_2-z_3}{z-z_3}\text{ si } z_1=\infty.$$ $$(iii)\;\:T(z)=\frac{z-z_1}{z-z_3}\text{ si } z_2=\infty.$$ $$(iv)\;\:T(z)=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\text{ si } z_3=\infty.$$ $(i)\;$ La transformación es de Möbius pues $$ ad-bc=\det M_T= \begin{vmatrix}{z_2-z_3}&{-z_1(z_2-z_3)}\\{z_2-z_1}&{-z_3(z_2-z_1)}\end{vmatrix}$$ $$=(z_2-z_3)(z_2-z_1)\begin{vmatrix}{1}&{-z_1}\\{1}&{-z_3}\end{vmatrix}=(z_2-z_3)(z_2-z_1)(z_1-z_3)\ne 0.$$ Ademas,
   $T(z_1)=0, T(z_2)=1, T(z_3)=\infty .$
   $(ii)\;$ Claramente la transformación es de Möbius, $T(\infty)=0, T(z_2)=1$ y $T(z_3)=\infty.$
   $(iii)\;$ Claramente la transformación es de Möbius, $T(z_1)=0, T(\infty)=1$ y $T(z_3)=\infty.$
   $(iv)\;$ Claramente la transformación es de Möbius, $T(z_1)=0, T(z_2)=1$ y $T(\infty)=\infty.$
   Probemos ahora la unicidad. Si $S$ es una transformación de Möbius cumpliendo $S(z_1)=0,$ $S(z_2)=1,$ $S (z_3)=\infty$ entonces, $$(T\circ S^{-1})(0)=T(z_1)=0,$$ $$(T\circ S^{-1})(1)=T(z_2)=1,$$ $$(T\circ S^{-1})(\infty)=T(z_3)=\infty.$$ Es decir, $T\circ S^{-1}$ deja fijos los puntos $0,1,\infty$ y por el problema anterior $T\circ S^{-1}=Id$ con lo cual $S=T.$

   Caso 2. Caso general. Sean $z_1,z_2,z_3$ y $w_1,w_2, w_3$ son dos ternas de $\mathbb{C}_{\infty}$, ambas de elementos distintos dos a dos. Por lo demostrado en el caso particular anterior, existen transformaciones de Möbius $M$ y $N$ tales que $$M(w_1)=0,M(w_2)=1, M(w_3)=\infty, N(z_1)=0,N(z_2)=1, M(z_3)=\infty,$$ con lo cual $T=M^{-1}\circ N$ cumple la condición $T(z_i)=w_i$ para $i=1,2,3$. Consideremos ahora una transformación de Möbius $T^*$ que cumpla la condición anterior, entonces $$ (M\circ T^*)(z_1)=M(w_1)=0,$$ $$(M\circ T^*)(z_2)=M(w_2)=1, $$ $$ (M\circ T^*)(z_3)=M(w_3)=\infty,$$ y por la unicidad demostrada en el caso particular se verifica $M\circ T^*=N$, entonces $T^*=M^{-1}\circ N=T.$

3. Sea $T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}.$ Entonces,$$T(0)=i\Leftrightarrow \frac{b}{d}=i\Leftrightarrow b=di,$$ $$T(-i)=1\Leftrightarrow \frac{-ia+b}{-ic+d}=1\Leftrightarrow -ia+b=-ic+d,$$ $$T(-1)=0\Leftrightarrow \frac{-a+b}{-c+d}=0\Leftrightarrow a=b.$$ Queda el sistema lineal homogéneo $$ \left \{ \begin{matrix}a-b=0\\-ia+b+ic+d=0\\b-di=0.\end{matrix}\right. $$ Resolviendo, $a=-ic,b=-ic,c=c, d=-c$ con lo cual $$ T(z)= \frac{-icz-ic}{cz-c}=\frac{-iz-i}{z-1}=-i\frac{z+1}{z-1}.$$