Desigualdad con logaritmos

RESUMEN. Demostramos una desigualdad con logaritmos.

Enunciado
1. Hallar el máximo absoluto de la función $$f:(0,+\infty)\to \mathbb R,\quad f(t)=\frac{\log t}{t}.$$
2. Demostrar la desigualdad $$-ae \log x\le x^{-a},\;\; (\forall x > 0 ,\; \forall a\in\mathbb R).$$

Solución
1. Derivando, $$f(t)=\frac{\dfrac{1}{t}t-1\log t}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}=0\Leftrightarrow 1-\log t=0\Leftrightarrow t=e.$$
   Para $t\in (0,e)$ se verifica $f^\prime(t) > 0$ (estrictamente creciente). Para $t > e$ se verifica $f^\prime (t) < 0$ (estrictamente decreciente). En consecuencia $f$ tiene máximo absoluto en $x=e$ siendo su valor $f(e) = 1/e.$
2. Por el apartado anterior, se verifica $$\frac{\log t}{t}\le \frac{1}{e} \text{ para todo } t >0.$$ Dado que $x^{-a} > 0$, sustiyuyendo $t=x^{-a}$ en la desigualdad anterior queda $$\frac{\log x^{-a} }{x^{-a}}\le \frac{1}{e}\text{ o bien }-ae \log x\le x^{-a}.$$